0. Rechnen

Binomialformeln

Summe

Es gilt für alle $n$

$$\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=2^n$$

Das ist auch die Menge der Subsets von $A=\{0,1{\}}^n$, $|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|}$.
Intuitiv: es zählt wie viele Subsets der Größe $0,1,2,3,\dots ,n$ wir erstellen können.

Summe 2

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^n{b}^{n-k}$$

comes in handy in sums involving binomial distributions and their probabilities.

Stirling Approximation

Es gilt $\frac{k!}{k^k}\ge e^{-k}$ wie man aufgrund der Taylor-Expansion einfach sehen kann.

Es gilt (da $k^k/k!$ für $i=k$ ein term der Summe mit positiven Summanden ist):

$$\frac{k^k}{k!}\le \sum _{i=0}^{\infty }\frac{k^i}{i!}$$

Dann gilt

$${\left(\frac{k^k}{k!}\right)}^{-1}\ge {\left(\sum _{i=0}^{\infty }\frac{k^i}{i!}\right)}^{-1}=(e^k{)}^{-1}$$

thus $\frac{k!}{k^k}\ge e^{-k}$.