FS21 D-CHAB

11.

$f:[a,b]\to [c,d]$ mit $a<b,c<d$ und $f$ surjektiv und $\forall x\in [a,b]$ gilt $f^{\prime }(x)<0$.

“Als Folge des MWs ist die gegebene Funktion umkehrbar” → TRUE
Wir können aus dem MWS folgern, dass die Funktion injektiv ist ⇒ bijektiv ⇒ umkehrbar.

Proof: Nehme an, $f$ nicht injektiv, i.e. $\exists x,x^{\prime }$ s.t. $f(x)=f(x^{\prime })$ (WLOG $x<x^{\prime }$)

• laut MWS $\exists c\in (a,b)$ s.t. $f^{\prime }(c)=\frac{f(x^{\prime })-f(x)}{x^{\prime }-x}=0/(x^{\prime }-x)=0$.
• Wir haben jedoch $f^{\prime }(x)<0$ für alle → contradiction.

15.

$f^{\prime \prime }(x)=-f(x)$, gibt $f_h=A\cos (x)+B\sin (x)$.
$g^{\prime }(x)=ag(x)+f(x)$ gibt dann als homogene Lösung $g_h(x)=C{e}^{ax}$.

→ $g_h(x)=C{e}^{ax}$ kann nur periodisch sein, wenn $a=0$. Wenn man die Partikulärlösung findet, kommt mann dann auch $g^{\prime }(x)-ag(x)=A\cos (x)+B\sin (x)$ $⟹C^{\prime }(x)=e^{ax}(A\cos (x)+B\sin (x))$, was offensichtlich nur für $a=0$ periodisch ist.

Periodische Lösungen

Eine periodische Lösung ist eine Funktion der form $h(x)=h(x+T)$ für ein $T\in \mathbb{R}$.