FS22

1.

1.2

Pointwise convergece → dummer Fehler! Die Funktion konvergiert überall, aber nur punktweise, es gibt eine Sprungstelle in f(0) = 1 aber sonst = 0.
Ich dachte deswegen Divergenz, aber das macht ja keinen Sinn.
Richtig ist: überall punktweise.

Nächstes Mal: beweisen, dass überall konvergiert → punktweise konvergenz. Wenn die funktion dann noch stetig ist = gleichmäßige Konvergenz.

1.6

We know: ${\sum }_{k=0}^{\infty }{x}^k=\frac{1}{1-x},|x|<1.$ Now the idea is to just take the derivative of both sides twice $\Rightarrow \frac{2}{(1-x{)}^3}={\sum }_{k=2}^{\infty }k(k-1)x^{k-2}$
Now we simply have to multiply by $x^2$ to get the series we need:

$$x^2\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)x^{k-2}=\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)x^k$$

$=x^2\cdot \frac{2}{(1-x{)}^3}$.

Wie sehe ich so etwas einfach?
Die Serie startet bei $k=2$, Antworten mit $2x$ (B, D) fallen also sofort weg.
Memorise $k(k-1)x^{(k-2)}$ ist ein klares Pattern von doppelt ableiten! Dann ist strukturell schonmal klar was passiert ist.

1.9

https://exams.vis.ethz.ch/exams/lr2ktfxb.pdf?answer=mjzale85f5f4y3bq

Dank Leibniz sehen wir, die Reihe konvergiert. Sie ist jedoch nicht absolut konvergent, da $|\sum |\ge \frac{1}{2}\sum \frac{1}{k}=\infty$ mit Minorantenkriterium.
Das gilt weil $\frac{k}{1+k^2}\ge \frac{k}{k^2+k^2}$!

2

2.a.

1 Sattelpunkt finden.
Wir können auch schauen ob $f^{\prime }(x)>0$ mit $x$ rund um $x_0$ ist. Dann hat die Funktion auch die Sattelpunkt shape.

2.b

1: Wenn $\sum a_n$ konvergiert und $b_n$ beschränkt ist, so konvergiert $\sum a_n{b}_n$.
→ FALSCH.
Sei $b_n=(-1{)}^n$ und $a_n=(-1{)}^n/n$ dann ist $a_n{b}_n$ die harmonische Reihe!
Mein Proof mit sup rausfaktorisieren gilt natürlich nur für $\ge 0$ Reihen und nicht für welche die negativ sind.

2 hier gilt mein Proof dann wieder

8 Wieder harmonische Reihe trick lol! immer die anschauen!
Hier ist dann $(-1{)}^n/\sqrt{n}$ konvergent mit Leibniz, aber $a_n^2=1/n$ nicht!

5

a)

g(x) := arctan(f(x)) ist differenzierbar, da sowohl arctan(x) als auch f(x) differenzierbar sind. Durch kettenregel folgt, dass auch g(x) differenzierbar ist.