FS22 D-CHAB

3

Note ${\lim }_{n\to \infty }(1-x/n{)}^n=e^x$.

4

When we have for all $x$ a limit like $|f^{\prime }(x)|\le 2$, we can use the MWS to deduce that since $f^{\prime }(c)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$ $⟹$ $|f^{\prime }(c)|=\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}$:

• $|f(x)-f(y)|\le 2|x-y|$.

7

Warum dürfen wir ${\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{\frac{1}{k}+k}{k^2}(\ast )={\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^3}({\ast }^{\prime })+{\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}({\ast }^{\prime \prime })$ umschreiben?

• für $n$ endlich dürfen wir das logischerweise.
• Hier können wir die Konvergenz als Hypothese annehmen um zu beweisen, dass die Gesamtsumme nicht konvergiert.
  Proof: Annahme $(\ast )$ konvergiert. Wir wissen auch das $({\ast }^{\prime })$ konvergiert (theorem). Mit der contrapositive
• $(\ast )-({\ast }^{\prime })=({\ast }^{\prime \prime })$ und beide linken konvergieren
• Dann muss ja laut theorem auch $({\ast }^{\prime \prime })$ konvergieren. Widerspruch.