FS25 Imamoglu

1.

MC10

Die funktion $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ gegeben durch $f(x)=(1-x^2{)}^2$ hat:
→ zwei globale Minima und ein globales Maximum

Mein Fehler: ich dividiere bei $4x=4x^3$ durch $x$ und verliere die $x=0$ solution → dummer Fehler.

Dann gibt es $3$ kritische Punkte → $x=0,-1,1$.
Zwei minima, ein maximum.

MC12

We can split ${\int }_{-1}^1\frac{1}{x}dx$ into two halves, for $ϵ,\delta >0$

$${\int }_{-1}^1\frac{1}{x}dx={\int }_{-1}^{\delta }\frac{1}{x}dx+{\int }_{ϵ}^1\frac{1}{x}dx$$

Check the limit $\ln (1)-{\lim }_{x\to ϵ}\ln (x)=0-\infty$ diverges. Thus the sum is only defined if both terms converge. I.e. we can only drag the limit out when both terms converge!

As both diverge, the expression has no value!

2.

A2.b)

${\lim }_{n\to \infty }{b}_n={\lim }_{n\to \infty }\frac{\ln (n+e^{n^2})}{2n^2}$

Intuitively, we can just ignore the $n$ in the log. then we get $\ln (e^{n^2})$ and that is $n^2$ thus we have 1/2.

Formally $\ln (n+e^{n^2})=\ln (e^{n^2}(n{e}^{-n^2}+1))$ which we split out into a sum of $n^2+\ln (n{e}^{-n^2}+1)$ where ${\lim }_{n\to \infty }n{e}^{-n^2}=0$.

A6

Pay attention to where the ${\square }^2$ ist.

4.

4.A1

Hier benutzen wir FTC (anstatt einfach Leibniz anzuwenden).
$f(x)={\int }_0^{x^3}g(t)dt$.

Proof: Sei $G(x)={\int }_0^{x}g(t)+C$ (nach FTC), da $g$ stetig ist. Außerdem sei $h(x)=x^3$.

• Dann gilt $f(x)=G(h(x))=G(x^3)$
• Dann gilt $f^{\prime }(x)=h^{\prime }(x)\cdot G^{\prime }(h(x))=3x^2\cdot g(x^3)$ as $G^{\prime }(x)=g(x)$ by FTC and the derivation holds by Kettenregel

4.A2

Aufpassen! Hier ist nach der Tangente! nicht nur nach der Steigung gefragt:

$y=f(1)+f^{\prime }(1)(x-1)=\frac{1}{2}(e-1)+3e(x-1)$.