2. Zahlen und Vektoren

2.1 Elementare Zahlen

2.1.1. $\sqrt{2}$ Irrational

Es gibt keine Zahl $r\in \mathbb{Q}$ mit $r^2=2$.

Beweis:

1. Nehmen wir an es gibt $r=\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$ mit $r^2=2$. OBDA $p,q$ teilerfremd und $p,q>0$.
   • $\frac{p^2}{q^2}=2⟹p^2=2\cdot q^2$. Da 2 prim, $p=2s$ für ein $s\in \mathbb{N}$
   • $p^2=2^2\cdot s^2$ und dann $q^2=2\cdot s^2$.
   • Daraus können wir schließen, dass $q$ auch einen Faktor $2$ hat.
   • Widerspruch, $p$ und $q$ nicht teilerfremd!

2.2 Die reellen Zahlen

• Die Addition in $\mathbb{R}$ ist assoziativ, kommutativ, hat ein neutrales Element $0$, ein inverses $-x$. $\mathbb{R}$ bildet eine abelsche Gruppe bezüglich der Addition.
  • Beachte, das Inverse ist eindeutig bestimmt!
• Die Multiplikation in $\mathbb{R}$ ist genauso eine abelsche Gruppe.
• Die beiden werden durch das Distributivgesetz vereint.

2.2.2. (and more) Properties

1. Additive und multiplikative Inverse sind eindeutig bestimmt
2. $\forall x\in \mathbb{R}:0\cdot x=0$
3. $\forall y\in \mathbb{R}:y\ge 0⟺-y\le 0$
4. $\forall y\in \mathbb{R}:y^2\ge 0$
5. Aus $x\le y$ und $u\le v$ folgt $x+u\le y+v$. (Konsistenz)
6. Falls gilt $0\le x\le y$ und $u\ge 0$, gilt auch $xu\le yu$. (Konsistenz)

Zudem gibt es auf $\mathbb{R}$ eine Ordnung $\le$ mit folgenden Eigenschaften (Poset).

Ordnungsaxiome

1. Reflexivität $\forall x\in X,x\le x$
2. Transitivität $\forall x,y,z\in \mathbb{R}:x\le y\wedge y\le z⟹x\le z$
3. Identitivität $\forall x,y\in \mathbb{R}:x\le y\wedge y\le x⟹x=y$ (Antisymmetry)
4. Totale Ordnung: $\forall x,y\in \mathbb{R}:x\le y\text{ oder }y\le x$.

Die Ordnung ist mit Addition und Multiplikation konsistent:

• $\forall x,y,z\in \mathbb{R}:x\le y⟹x+z\le y+z$
• $\forall x,y,z\in \mathbb{R}:x\le y,0\le z⟹x\cdot z\le y\cdot z$

Ordnungsvollständigkeit

Seien $A,B\subseteq \mathbb{R}$ so, dass

1. $A\ne \varnothing$, $B\ne \varnothing$
2. $\forall a\in A\forall b\in B:a\le b$
   Dann gibt es ein $c\in \mathbb{R}$ so dass

$$\forall a\in A:a\le c\text{und}\forall b\in B:c\le b$$

Beispiel: Proof that $\sqrt{2}$ is irrational durch Ordnungsvollständigkeit.

• Definiere zwei Mengen:
  • $A:=\{a\in \mathbb{R}\mid 1\le a\le 2,a^2\le 2\}$ — nicht leer, da $1\in A$
  • $B:=\{b\in \mathbb{R}\mid 1\le b\le 2,b^2\ge 2\}$ — nicht leer, da $2\in B$
• Schritt 1: $\forall a\in A\forall b\in B:a\le b$
  • Angenommen $\exists a,b$ mit $a>b$
  • Dann $a\cdot a>b\cdot b$, d.h. $a^2>b^2\ge 2$ — Widerspruch zu $a^2\le 2$
• Schritt 2: Nach dem Vollständigkeitsaxiom $\exists c\in \mathbb{R}$ mit:
  • $\forall a\in A:a\le c$
  • $\forall b\in B:c\le b$
  • Insbesondere gilt $1\le c\le 2$
• Schritt 3: Beh. $c^2=2$

  • Bew. Annahme: $c^2\ne 2$, also entweder $c^2<2$ oder $c^2>2$

  • Fall 1: $c^2<2$

    • Wähle $\epsilon >0$ klein genug, sodass $(c+\epsilon {)}^2<2$
    • Konkret: $(c+\epsilon {)}^2=c^2+2c\epsilon +{\epsilon }^2\le c^2+(2c+1)\epsilon$
    • Wähle $\epsilon <\frac{2-c^2}{2c+1}$, dann $(c+\epsilon {)}^2<2$
    • Also $c+\epsilon \in A$ — Widerspruch zu $c=\sup A$

  • Fall 2: $c^2>2$

    • Wähle $\epsilon >0$ klein genug, sodass $(c-\epsilon {)}^2>2$
    • $(c-\epsilon {)}^2=c^2-2c\epsilon +{\epsilon }^2\ge c^2-2c\epsilon$
    • Wähle $\epsilon <\frac{c^2-2}{2c}$, dann $(c-\epsilon {)}^2>2$
    • Also $c-\epsilon \in B$ — Widerspruch zu $c=\inf B$

  • Beide Fälle führen zum Widerspruch $⟹c^2=2$.

Wir definieren außerdem folgende Operationen.

2.2.1 Max, Min, Absolutbetrag

1. $\max \{x,y\}:=\{\begin{array}{ll}x,& \text{ falls }y\le x\\ y,& \text{ falls }x\le y\end{array}$
2. $\min \{x,y\}:=\{\begin{array}{ll}y,& \text{ falls }y\le x\\ x,& \text{ falls }x\le y\end{array}$
3. Absolutbetrag: $|x|:=\max \{x,-x\}=\{\begin{array}{ll}x,& x\ge 0\\ -x,& \text{sonst}\end{array}$

Außerdem gilt

• $|x|\ge 0$ für alle $x$.
• $x\le |x|,\forall x\in X$
• $|xy|=|x||y|\forall x,y\in \mathbb{R}$.

2.2.1 Dreiecksungleichung

$$|x+y|\le |x|+|y|\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Und $|x+y|\ge ||x|-|y||$.

2.2.2 Youngsche Ungleichung

Für jedes $x,y\in \mathbb{R}$, $ϵ>0$ gilt

$$2|xy|\le ϵx^2+\frac{1}{ϵ}{y}^2$$

Proof: Setze $\gamma =\sqrt{ϵ}>0$. OBDA gelte $x\cdot y\ge 0$.

$$0\le (\gamma x-\frac{y}{\gamma }{)}^2={\gamma }^2{x}^2-2x\cdot y+\frac{1}{{\gamma }^2}{y}^2$$

1.60 Bernouilli-Ungleichung

(Extra, useful)
Für $a\ge -1$ und $n\ge 0$ gilt:

$$(1+a{)}^n\ge 1+na$$

2.3 Supremum und Infimum

2.3.1 Upper and lower bound

An upper bound (de “obere Schranke”) of a set $X\subset \mathbb{R}$ is an element $y\in \mathbb{R}$ such that $\forall x\in X$ $x\le y$.
A lower bound is an element $y$ such that $\forall x\in X$ $x\ge y$.

3.2.1

i) Jede nicht leere, nach oben beschränkte Menge $A\subset \mathbb{R}$ besitzt eine kleinste obere Schranke $c=:\sup (A)$, das Supremum von $A$.
ii) Analog besitzt jede nicht leere, nach unten beschränkte Menge $A\subset \mathbb{R}$ eine grösste untere Schranke $c^{\prime }=:\inf (A)$, das Infimum von $A$.

Proof: Dies können wir mit dem Ordnungvollständigkeitssaxiom beweisen. Für das Intervall $A$, welches nach oben beschränkt ist, gibt es eine Menge $B$ an oberen Schranken. Da $a\le b$ für alle gilt, gibt es $c$ sodass $a\le c\le b$. $c$ ist die kleinste obere Schranke und eindeutig bestimmt.

Supremum and Infimum

The least upper bound of $X$ is called supremum, noted $\sup (X)$.
The greatest lower bound of $X$ is called infimum, noted $\inf (X)$.

The infimum / supremum can be $\infty$ or $-\infty$ (if the set ist nach oben / unten unbeschränkt).

• The supremum $S=\sup (X)$ of a set $X$ can be characterised by

$$(\forall x\in X:x\le S)\wedge (\forall ϵ>0\exists x\in X:x>S-ϵ)$$

• The infimum $I=\inf (X)$ of a set $X$ can be characterised by

$$(\forall x\in X:x\ge I)\wedge (\forall ϵ>0\exists x\in X:x<I+ϵ)$$

Konvention Inf / Sup

Ist die Menge $A\ne \varnothing$ nach oben / unten unbeschränkt, so definieren wir:

• $\sup (A)=\infty$ oder $\inf (A)=-\infty$

Das Supremum und Infimum müssen keine Elemente von $X$ sein. Wenn sie es aber sind, so nennen wir sie Maximum und Minimum.

Maximum and Minimum

The maximum, noted $\max (X)$ is an element $x_0\in X$ such that $\forall x\in X$ $x\le x_0$.
The minimum, noted $\min (X)$ is an element $x_0\in X$ such that $\forall x\in X$ $x\ge x_0$.

The minimum / maximum cannot be $\infty$ or $-\infty$, they don’t “belong” to $\mathbb{R}$ (laut Archimedischem Prinzip gibt es immer größere / kleinere).

Note that, Maximum and minimum are always uniquely defined, given that they exist (there is only one maximum and one minimum).

Im Allgemeinen gehören das Supremum und Infimum nicht zur Menge selbst!
Ist dies jedoch doch der Fall, sagen wir “das Supremum wird in $A$ angenommen”.

Supremum, Infimum zu Max, Min

Wenn ein Minimum / Maximum existiert, dann gilt $\sup (A)=\max (A)$ (und $\inf (A)=\min (A)$).

2.3.2 (Korollar im Skript) Archimedisches Prinzip

Für $x\in \mathbb{R}$ und $y>0$ existiert $n\in \mathbb{N}$ mit $n\cdot y>x$
Für jedes $ϵ>0$ existiert $n\in \mathbb{N}$ mit $0<\frac{1}{n}<ϵ$.

(Im Skript: Zu jeder Zahl $0<b\in \mathbb{R}$ gibt es ein $n\in \mathbb{N}$ mit $b<n$.)

Beachte, wir können daraus folgern dass gilt: für alle $a<b$ in $\mathbb{R}$ existiert ein $\mathbb{Q}$ mit $a<q<b$.

• Wähle nach Archimedischem Prinzip $n\in \mathbb{N}$ so dass $\frac{1}{n}<b-a$.
• $\{\frac{m}{n}\mid m\in \mathbb{Z}\}$ diese vielfache überdecken ganz $\mathbb{R}$ in regelmäßigen Abständen von $\frac{1}{n}$.
• Wähle kleinstes $m\in \mathbb{Z}$ mit $\frac{m}{n}>a$ dann gilt $\frac{m-1}{n}\le a$ also

$$\frac{m}{n}=\frac{m-1}{n}+\frac{1}{n}\le a+\frac{1}{n}<a+(b-1)=b$$

• Somit ist $q=\frac{m}{n}\in \mathbb{Q}$ mit $a<q<b$.

Mit Sup und Inf rechnen

(From Michaels book) Seien $A,B\subset \mathbb{R}$ nicht leer dann gelten:

1. addition

• $\sup (A+B)=\sup (A)+\sup (B)$
• $\inf (A+B)=\inf (A)+\inf (B)$

1. union

• $\sup (A\cup B)=\max \{\sup (A),\sup (B)\}$
• $\inf (A\cup B)=\max \{\inf (A),\inf (B)\}$

2.4 Euklidische Raum

Wir definieren Skalarprodukt, Euklidische Norm und den Euklidischen Abstand.

Euklidischer Abstand

Für $x,y\in {\mathbb{R}}^n$:

$$d(x,y):=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$$

Dreiecksungleichung Reloaded

Für alle $x,y,z\in {\mathbb{R}}^n$ gilt:

$$||x-z||\le ||x-y||+||y-z||$$

wo $||x||$ die euklidische Norm von $x$ ist.

Cauchy-Schwarz

Für alle $x,y\in {\mathbb{R}}^n$ gilt:

$$|x\cdot y|\le ||x||\cdot ||y||$$

2.5 Komplexe Zahlen

Wir führen in ${\mathbb{R}}^2$ noch eine weitere Operation ein, die komplexe Multiplikation. Wir erhalten einen Körper (zu jenem alle anderen extension fields isomorph sind). Wir nennen diesen die:

Komplexe Zahlen

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}:=\{a+ib\mid a,b\in \mathbb{R}\}$.

Beachte, dass $\mathbb{R}$ in $\mathbb{C}$ durch $x\to (x,0)$ einbetten können.

Wir können diese in arithmetischer oder kartesischer Form als $a+ib$ darstellen.

Kartesische Form

Für $z=a+ib\in \mathbb{C}$ gilt:

• $a$ heißt Realteil, geschrieben $a=\text{Re}(z)$
• $b$ heißt Imaginärteil, geschrieben $b=\text{Im}(z)$
• $i$ ist die imaginäre/komplexe Einheit mit Eigenschaft $i^2=-1$

Ist $a=0$, nennt man $z=ib$ auch rein oder pur imaginär.

Konjugation

Für $z=x+iy\in \mathbb{C}$ sei $\bar{z}=x-iy$ die zu $z$ konjugierte Zahl.

Es gelten folgende Regeln:

• $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$
• $z+\bar{z}=2\text{Re}(z)$ und $z-\bar{z}=2i\text{Im}(z)$
• $\overline{\stackrel{ˉ}{z}}=z$
• $\overline{z\pm w}=\bar{z}\pm \bar{w}$
• $\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w}$
• $z=\overline{z}$ falls $z\in \mathbb{R}$
• $\overline{z}=-z$ falls $z$ rein imaginär!

Außerdem gilt:

$$\frac{z}{w}=\frac{z\cdot \overline{w}}{w\cdot w}=\frac{z\cdot \overline{w}}{|w{|}^2}$$

$$\overline{(\frac{z}{w})}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}$$

Wir können komplexe Zahlen ebenfalls in der Polarform darstellen.

In dieser Form ist $|z|$ der Betrag, die Länge des dazugehörigen Vektors:

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

Der Abstand ist dann $d=|z_2-z_1|=|z_1-z_2|$, und hier gilt wieder die Dreiecksungleichung: $|z+w|\le |z|+|w|$.

2.5.1 Eulersche Formel

Wir können die Exponentialfunktion als Reihenentwicklung darstellen:

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{x}^k$$

Setzen wir in diese formel $x=it$ ein, so erhalten wir $e^{it}=\cos (t)+i\sin (t)$, $t\in \mathbb{R}$.

Wir können dadurch $\sin$ und $\cos$ mithilfe von komplexen Exponentialfunktionen schreiben.

Sin, Cos als Exponentialfunktionen

$$\cos (t)=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}$$

und

$$\sin (t)=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}$$

Mit komplexen Argumenten gelten folgende Regeln:

• $e^{z+w}=e^z\cdot e^w$
• $e^z=e^{a+ib}=e^a\cdot (\cos (b)+i\sin (b))$
• $e^{z+i2\pi }=e^z$ (im Kontext von Rotationen leuchtet das ein)

Polarform

Eine komplexe Zahl als Winkel und Abstand zum Ursprung.

$$z=r\cdot e^{i\phi }$$

wo $|z|=r\ge 0$ und $\phi \in (-\pi ,\pi ]$ der Polarwinkel (Argument).
Wir schreiben $\phi =\text{arg}(z)=\text{arc}(z)$.

Wir können genauso $z=r(\cos (\phi )+i\sin (\phi ))=r{e}^{i\phi }$ schreiben.

Umrechnungen $z=r{e}^{i\phi }$ ist $z=x+iy$ wo $x=r\cos (\phi )$ und $y=r\sin (\phi )$.

• $r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$
• $\phi =\arctan (\frac{y}{x})$ falls $x>0$.
• $\phi =\arctan (\frac{y}{x})+\pi$ falls $x<0$ und $y\ge 0$
• $\phi =\arctan (\frac{y}{x})-\pi$ falls $x<0$ und $y<0$.

Umrechnung ist 0 ausgeschlossen

Falls $x=y=0$ verwenden wir die folgende Konvention. Für $x=0,y\ne 0$: $\text{arg}(iy)=\{\begin{array}{ll}\pi /2& ,y>0\\ -\pi /2& ,y<0\end{array}$

Rechenregeln komplexe Zahlen:

• $z_1\cdot z_2=r_1{e}^{i{\phi }_1}\cdot r_2{e}^{i{\phi }_2}=r_1\cdot r_2\cdot e^{i({\phi }_1+{\phi }_2)}$
  • Die Multiplikation mit einer komplexen entspricht einer Drehung um ihr Argument und Verlängerung um ihren Betrag.
• $\frac{z_1}{z_2}=r_1{e}^{i{\phi }_1}/r_2{e}^{i{\phi }_2}=\frac{r_1}{r_2}{e}^{i({\phi }_1-{\phi }_2)}$
• $z^n=r^n{e}^{ni\phi }$
  

Einheitswurzeln

Sei $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 1$. Dann hat die Gleichung $z^n=1$ genau $n$ Lösungen in $\mathbb{C}$: $z_1,z_2,\dots ,z_n$ wobei

$$z_j=\cos \frac{2\pi j}{n}+i\cdot \sin \frac{2\pi j}{n},1\le j\le n$$

oder anders geschrieben

$$z_k=r^{1/n}{e}^{i(\phi /n+k2\pi /n)},k=0,\dots ,n-1$$

was insgesamt $n$ Lösungen macht.

Die Lösungen sind alle auf einem Kreis mit Radius 1 und sind gleichmäßig verteilt (formen ein n-Eck). Man *dreht immer um den Winkel $2\pi /n$.

Beispiel Für $w=R\cdot e^{i\phi }$ sind die Lösungen von $z^n=w$ gleich der $n$ komplexen Zahlen mit Betrag $\sqrt[{}^n]{R}$ und Winkeln ${\phi }_k=\frac{\phi }{n}+k\cdot \frac{2\pi }{n}$ für $k=0,\dots ,n-1$.

Fundamentalsatz der Algebra

Jedes polynom $p(z)=a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_{1}z+1_0$ kann in $n$ Linearfaktoren faktorisiert werden, d.h. geschrieben werden als $p(z)=a_n(z-z_1)(z-z_2)\dots (z-z_{n-1})(z-z_n)$.

Die Zahlen $z_k$ sind also gerade die Nullstellen von $p(z)$ mit Vielfachheit!

Dies heißt praktisch: jedes Polynom $n$-ten Grades über $\mathbb{C}$ hat genau $n$ Nullstellen (mit Vielfachen).

Nicht-reelle Nullstellen

Die nicht-reellen Nullstellen eines Polynoms mit reellen Koeffizienten treten in komplex konjugierten Paaren auf.

Heißt es sind immer Paare (für Grad 3 kann es nur $2$ oder $0$ in $\mathbb{C}$ geben).

Proof: Konjugierte ist auch eine Nullstelle. Für $p(z)=0$, $p$ Polynom mit reellen Koeffizienten.

$$\overline{p(z)}=\bar{0}⟹\overline{p(z)}=0$$ $$⟹\overline{p(z)}=p(\bar{z})\text{deswegen auch}0=\overline{p(z)}=p(\bar{z})=0$$

Weil:

$$\overline{p(z)}=\overline{a_n{z}^n+\cdots +a_0}=\overline{a_n}{\bar{z}}^n+\cdots +\overline{a_0}$$

($a_k$ weil $\in \mathbb{R}$)

$$=a_n{\bar{z}}^n+\cdots +a_0=p(\bar{z})$$

Beispiel: Heißt, wenn $3+i4$ eine Wurzel ist, ist es auch $3-i4$!