3. Folgen

3.1 Folge

Folge

Eine Folge $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ ist eine unendliche Liste von Zahlen, wobei jeder solche Eintrag ein Glied der Folge genannt wird.

Ein Folgeglied ist einfach ein Element der Folge.

Folge als Funktion

Eine Folge ist eine Funktion $f:{\mathbb{N}}_0\to \mathbb{R}$ .
Die Bilder $a(n)=a_n$ sind dann gerade die Elemente der Folge.

Wir können eine Folge entweder explizit oder rekursiv beschreiben.

Teilfolge

Es sei $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ eine Folge in $\mathbb{R}$. Eine Teilfolge ist eine Folge der Form $({a_n}_k{)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ wobei $(n_k{)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ eine Folge nicht-negativer ganzer Zahlen ist mit $n_{k+1}>n_k$ für alle $k\in {\mathbb{N}}_0$ (aufsteigend).

Beschränkte Folgen

Eine Folge nennen wir nach unten/oben beschränkt, falls die Menge $M=\{a_n\mid n\in {\mathbb{N}}_0\}$ eine untere/obere Schrank besitzt.
Eine Folge welche sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt ist nennen wir kurz beschränkte Folge.

Monoton

Eine Folge nennen wir monoton fallend/monoton wachsend falls gilt

$$\forall n,m\in {\mathbb{N}}_0:m>n⟹a_m\le a_n$$

respektive

$$\forall n,m\in {\mathbb{N}}_0:m>n⟹a_m>a_n$$

Streng Monoton

Eine Folge nennen wir streng monoton fallend / streng monoton wachsend falls gilt

$$\forall n,m\in {\mathbb{N}}_0:m>n⟹a_m>a_n$$

respektive

$$\forall n,m\in {\mathbb{N}}_0:m>n⟹a_m<a_n$$

3.2 Grenzwerte

Konvergenz

Eine Folge $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ heißt konvergent falls ein $L\in \mathbb{R}$ existiert sodass

$$\forall ϵ>0\exists N>0\text{ such that }\forall n>N:|a_n-L|<ϵ$$

$L$ wird dann Grenzwert genannt.
Falls kein solcher Grenzwert existiert, so nennt man die Folge divergent.

Man schreibt dann ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=L$.

Eindeutiger Grenzwert

Eine konvergente Folge besitzt genau einen eindeutigen Grenzwert.

Proof: For contradiction, assume there are $A,B$ limits.

• Then there exists $N_A\in \mathbb{N}$ such that $\forall n>N_A:|a_n-A|<\frac{ϵ}{2}$
• There must also be $N_B$ such that $\forall n>N_B:|a_n-B|<\frac{ϵ}{2}$
• But then for $N:=\max \{N_A,N_B\}$ it holds that $n>N$ $|A-B|\le |A-a_n|+|a_n-B|<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ$.
• As this holds for all epsilon, $A=B$ must hold.

Divergenz gegen unendlich

Falls für eine Folge gilt

$$\forall M>0\exists N>0\text{ such that }\forall n>N:a_n>M$$

sagen wir, dass die Folge gegen unendlich divergiert und schreiben ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\infty$.
Genauso kann die Folge auch gegen minus unendlich divergieren wenn

$$\forall M>0\exists N>0\text{ such that }\forall n>N:a_n<-M$$

Eine Folge kann sich natürlich im unendlichen auch keinem Wert nähern. Wenn sie aber einem Wert unendlich oft unendlich nahe kommt, so ist dies ein Häufungspunkt.

Konvergenz Teilfolge

Es sei $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ eine konvergente Folge mit Grenzwert $L\in \mathbb{R}$. Dann konvergiert auch jede Teilfolge gegen den gleichen Grenzwert $L$.

Häufungspunkt

$A\in \mathbb{R}$ ist ein Häufungspunkt einer Folge falls

$$\forall ϵ>0\forall N\in {\mathbb{N}}_0\exists n\ge N\text{ such that }|a_n-A|<ϵ$$

Anders ausgedrückt: Jedes Intervall der Form $(A-ϵ,A+ϵ)$ enthält $a_n$ für unendlich viele Indizes $n$.

Beispiel:

• Für $a_n=(-1{)}^n$ gilt dass $1$ und $-1$ Häufungspunkte sind.
• $1/2$ ist ein Häufungspunkt der Enumeration von $[0,1]\cap \mathbb{Q}$. Dies gilt da $[1/2,1/2+1/n]$ unendlich viele rationale Zahlen enthält. Es gilt sogar dass alle Zahlen in dem Intervall ein Häufungspunkt sind.

Häufungspunkt = Grenzwert Teilfolge

$A\in \mathbb{R}$ ist ein Häufungspunkt einer Folge genau dann, wenn eine konvergente Teilfolge $({a_n}_k{)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ existiert mit

$$\underset{k\to \infty }{\lim }{a_n}_k=A$$

Grenzwert = Häufungspunkt

Jede konvergente Folge in $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ in $\mathbb{R}$ hat genau einen Häufungspunkt, welcher mit dem Grenzwert der betrachteten Folge übereinstimmt.

COROLLARY

Sei $A$ ein Häufungspunkt der Folge $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$. Dann gibt es für jedes $ϵ>0$ unendlich viele Folgeglieder, welche im Intervall $(A-ϵ,A+ϵ)$ liegen.

THEOREM

Wir nehmen an, es gelte ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=K$, $K\ne \pm \infty$, ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n=L$, $L\ne \pm \infty$ und $C$ sei eine beliebige Zahl.
Dann gilt:

1. ${\lim }_{n\to \infty }(a_n+b_n)=K+L$
2. ${\lim }_{n\to \infty }(a_n-b_n)=K-L$
3. ${\lim }_{n\to \infty }(a_n\cdot b_n)=K\cdot L$
4. ${\lim }_{n\to \infty }(C\cdot a_n)=C\cdot K$
5. Falls $L\ne 0$ und $b_n\ne 0$, haben wir ${\lim }_{n\to \infty }(a_n/b_n)=K/L$
6. $K<L$ $⟺$ $\exists N\in \mathbb{N}$ so dass gilt $a_n<b_n$ für alle $n\ge N$

Wir halten hier einige wichtige Grenzwerte fest:

1. ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\log n}{n}=0={\lim }_{n\to \infty }\frac{\ln n}{n}$
2. ${\lim }_{n\to \infty }{n}^{1/n}=1$
3. ${\lim }_{n\to \infty }{x}^{1/n}=1$, $x>0$
4. $\forall x\in \mathbb{R}:{\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{x}{n}{)}^n=e^x$
5. $\forall x\in \mathbb{R}:{\lim }_{n\to \infty }\frac{x^n}{n!}=0$

3.2.1 Grenzwerte Finden

Das folgende Theorem erlaubt es uns mithilfe zweier geschickt gewählter, bekannt konvergierender Folgen die Konvergenz einer dritten festzustellen.

Sandwich-Theorem

Es seien $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ und $(c_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ zwei konvergente Folgen mit gleichem Grenzwert gegeben

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=L\text{ und }\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=L$$

sowie eine dritte Folge $(b_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ mit der Eigenschaft, dass ein $N_0\in \mathbb{N}$ existiert, so dass gilt

$$a_n\le b_n\le c_n\forall n\ge N_0$$

Dann ist auch die Folge $(b_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ konvergent und es gilt

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=L$$

Sofern wir Beschränktheit beweisen können, folgt Konvergenz, wie der Satz von Weierstrass für monotone Funktionen beweist.

Satz von Weierstrass

Eine monotone Folge reeller Zahlen $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist.
Falls die Folge monoton wachsend ist, gilt:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\sup \{a_n\mid n\in {\mathbb{N}}_0\}$$

Falls die Folge monoton fallend ist, gilt:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\inf \{a_n\mid n\in {\mathbb{N}}_0\}$$

Beispiel: Die folge $a(n)=1/n$ ist durch $\inf =0$ beschränkt und fällt monoton. Deswegen konvergiert sie (gegen $0$).

THEOREM

Jeder konvergente Folge ist beschränkt.

3.2.2 Limes Inferior und Superior

Limes superior und inferior

Die Größe

$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{a}_n=\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\sup \{a_k\mid k\ge n\}$$

heißt Limes superior der Folge $a_n$.
Die Größe

$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{a}_n={\underline{\lim }}_{n\to \infty }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\inf \{a_k\mid k\ge n\}$$

heißt Limes inferior der Folge $a_n$.

Limes superior und inferior

1. ${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }{a}_n=\inf (\sup \{a_k\mid k\ge n\})$
2. ${\mathrm{liminf}}_{n\to \infty }{a}_n=\sup (\inf \{a_k\mid k\ge n\})$

Die Folge $\sup \{a_k\mid k\ge n\}$ ist monoton fallend (steigend für das Infimum). Dies gilt, da $n=2$ weniger Terme als $n=1$ vergleicht (i.e. $\{a_k\mid k\ge n+1\}\subseteq \{a_k\mid k\ge n\}$), deswegen kann es nur kleiner sein.

Beachte Limes inferior / superior existieren für jede Folge - jedoch können sie gegen unendlich gehen.

Limes superior / inferior sind größter / kleinster Häufungspunkt

${\mathrm{liminf}}_{n\to \infty }{a}_n$ ist der kleinste Häufungspunkt von $(a_n)$.
${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }{a}_n$ ist der größte Häufungspunkt von $(a_n)$.

Wenn diese beiden Häufungspunkte dieselben sind, gilt folgendes:

Konvergente Folge

$(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ eine konvergente Folge $⟺$ genau dann wenn

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{a}_n=\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{a}_n$$

Häufungspunkte

Sei $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ eine beschränkte Folge mit $A={\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }{a}_n$.
Dann ist $A$ ein Häufungspunkt und für alle $ϵ>0$ gilt,

1. Dass es nur endlich viele Elemente $a_n$ gibt, für welche gilt $a_n\ge A+ϵ$
2. Dass für unendlich viele Element gilt $A-ϵ<a_n<A+ϵ$

Eine analoge Aussage gilt auch für den limes inferior.

Bolzano-Weierstrass

Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat einen Häufungspunkt und eine konvergente Teilfolge.

Beachte, dies gilt nur für die 1-norm.

Proof Idea: Nested Intervals. Always bisect the interval. Since the sequence is infinite, at least one of the intervals must contain an infinite amount of terms.

3.2.3 Cauchy-Folge

Cauchy-Folge

Eine Folge $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}\subset \mathbb{R}$ heißt Cauchy-Folge, falls für jedes $ϵ>0$ ein $N\in \mathbb{N}$ existiert, so dass gilt

$$\forall m,n\ge N|a_n-a_m|<ϵ$$

Beispiel ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k^2}$ ist eine Cauchy Folge.
Die Folge ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}$ ist jedoch keine Cauchy-Folge.

Man kann Terme immer wieder in “Pakete” zusammenfassen, welche größer als $1/2$ sind.

Beschränkt = Cauchy-Folge

Jede Cauchy-Folge ist beschränkt.

2.6.6 (Burger) Konvergenz = Cauchy-Folge

Eine Folge konvergiert genau dann, wenn $⟺$ sie eine Cauchy-Folge ist (für Folgen in $\mathbb{R}$ und $\mathbb{C}$).

Dies gilt nicht für Folgen in $\mathbb{Q}$, da sie zum Beispiel auf $\sqrt{2}$ konvergieren können, was jedoch nicht in $\mathbb{Q}$ liegt → ergo konvergiert nie.

Proof:

1. $\Rightarrow$
2. Sei $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ konvergent mit Grenzwert $L$. Dann existiert für $\epsilon >0$ ein Index $N$ mit

$$|a_n-L|<\frac{\epsilon }{2}\forall n\ge N$$

2. Für $n,m\ge N$ folgt mit Dreiecksungleichung:

$$\begin{array}{rl}|a_n-a_m|& =|a_n-L+L-a_m|\\ & \le |a_n-L|+|L-a_m|\\ & <\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon \end{array}$$

 3. Also ist $(a_n)$ eine Cauchy-Folge

2. $\Leftarrow$:
1. Sei $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ eine Cauchy-Folge. Dann ist sie insbesondere beschränkt, also existiert nach Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge $(a_{n_k}{)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ mit ${\lim }_{k\to \infty }{a}_{n_k}=L$.
2. Wir nutzen zwei Aussagen:
1. Da $(a_n)$ Cauchy: $\forall \epsilon >0\exists N\in {\mathbb{N}}_0$ s.d. $|a_n-a_m|<\frac{\epsilon }{2}\forall n,m\ge N$
2. Da $(a_{n_k})\to L$: $\forall \epsilon >0\exists N_1\in {\mathbb{N}}_0$ s.d. $|a_{n_k}-L|<\frac{\epsilon }{2}\forall k\ge N_1$
Setze $N^{\ast }:=\max \{N,N_1\}$. Da $n_k\ge k$, gilt für $n\ge N^{\ast }$:

$$|a_n-L|\le |a_n-a_{n_k}|+|a_{n_k}-L|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$$

	3. somit konvergiert $(a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}$.

3.3 Grenzwerte Praktisch

3.3.1 Potenzen ausfaktorisieren

Bei rationalen Folgen der Form $a_n=\frac{P(n)}{Q(n)}$ klammert man die höchste Potenz von $n$ im Nenner aus.
Dadurch entstehen Terme der Form $\frac{1}{n^k}$, die Nullfolgen bilden. Der Grenzwert wird dann ausschliesslich durch die führenden Koeffizienten bestimmt:`

$$\frac{{\alpha }_p{n}^p+\dots }{{\beta }_q{n}^q+\dots }⟶\{\begin{array}{ll}\frac{{\alpha }_p}{{\beta }_q}& \text{falls }p=q\\ 0& \text{falls }p<q\\ \text{divergent}& \text{falls }p>q\end{array}$$

3.3.2 Rationalisieren (Wurzeltrick)

binomische Formel $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Multipliziere die gleichung mit $\cdots \times 1=\cdots \times \frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}$ z.B.

Beispiel: $\sqrt{n^2+3}-n\cdot 1=\sqrt{n^2+3}-n\cdot \frac{\sqrt{n^2+3}+n}{\sqrt{n^2+3}+n}$ und dann mit $a^2-b^2$ vereinfachen

3.3.3 Einklemmen (Sandwich und beschränkt + Weierstrass)

Weierstrass: Sei $(a_n)\subset \mathbb{R}$ monoton wachsend und nach oben beschränkt. Dann konvergiert $(a_n)$ mit: ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n={\sup }_{n\in \mathbb{N}}{a}_n$. Analog für monoton fallende, nach unten beschränkte Folgen mit dem Infimum.

Sandwhich: Wir beschränken die Folge von oben und unten. Wenn die beiden Schranken im gleichen Grenzwert konvergieren → konvergiert die Folge genauso dort.
$a_n\le b_n\le c_n$. Wenn $\lim a_n=\lim c_n=L$, so gilt, dass $\lim b_n=L$.

3.3.4 In form von $e^x$ Folge bringen

https://skyscra.github.io/teaching/Analysis_1/week_3/grenzwerte_mit_e/
Benutze Limit von ${\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{x}{n}{)}^n=e^x$.

Beispiel: Für $(\frac{n}{n+1}{)}^n=(\frac{n+1}{n}{)}^{-n}$.
Dann trennen wir $(1+\frac{1}{n}{)}^{-n}$ and extract the exponent $((1+\frac{1}{n}{)}^n{)}^{-1}$.
Dann können wir den Limes berechnen und erhalten $e^{-1}$.

3.3.5 $\sqrt[n]{}$

https://skyscra.github.io/teaching/Analysis_1/week_3/grenzwerte_mit_nter_wurzel/

Wurzelverhalten

1. Für alle $P(n)$ polynome sodass $P(n)>0$ für große $n$.
   Die Wurzel dämpft diese vollständig ab:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{P(n)}=1$$

2. Die Fakultät wächst jedoch zu stark an

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n!}=\infty$$

Wir wollen den folgenden Grenzwert berechnen:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt[n]{4^n+3n^5+7}\cdot \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}\right)$$

Die Exponentialfunktion $4^n$ wächst deutlich schneller als das Polynom $3n^5$ oder die Konstante 7. Wir klammern also $4^n$ aus:

$$\sqrt[n]{4^n+3n^5+7}=\sqrt[n]{4^n\left(1+\frac{3n^5}{4^n}+\frac{7}{4^n}\right)}$$

Nun ziehen wir den ausgeklammerten Term aus der Wurzel heraus:

$$4\cdot \sqrt[n]{1+\frac{3n^5}{4^n}+\frac{7}{4^n}}$$

Für $n\to \infty$: Da $4^n$ schneller wächst als jedes Polynom, konvergieren die Brüche gegen 0:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }4\cdot \sqrt[n]{1+0+0}=4\cdot 1=4$$

Für den zweiten Teil:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}=0$$

Zusammengesetzt:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt[n]{4^n+3n^5+7}\cdot \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}\right)=4\cdot 0=0$$

Unter der Potenz zu erst, dann drüber

Wir können hier den Term unter der Potenz evaluieren, und uns dann dem Grenzwert verhalten von der Potenz widmen. Das ergibt dann $1^{1/n}=1^0=1$.

Bei einem Fall wie ${\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ ist der Grenzwert in der Wurzel zwar auch 1, wir potenzieren aber gegen $\infty$ - $1^{\infty }$ ist unbestimmt!
Daher können wir nicht einfach sagen $1^n=1$.

3.3.6 Fixpunkt (rekursive Folgen)

Sei eine Folge rekursiv definiert durch $a_1=c$ und $a_{n+1}=f(a_n)$.

Falls $(a_n)$ konvergiert (z.B. nach Weierstrass), setzt man $l={\lim }_{n\to \infty }{a}_n={\lim }_{n\to \infty }{a}_{n+1}$ und erhält die Fixpunktgleichung: $l=f(l)$

Man löst diese Gleichung nach $l$ auf und schließt anhand der Eigenschaften der Folge (Vorzeichen, Monotonie, Beschränktheit) aus, welcher Kandidat der tatsächliche Grenzwert ist.

Typisches Schema: (1) Beschränktheit per Induktion zeigen, (2) Monotonie zeigen, (3) Weierstrass anwenden, (4) Fixpunktgleichung lösen

3.3.7 Konvergente Teilfolgen

Grenzwerte der Teilfolgen

Wenn alle Teilfolgen (z.B. für ungerade / gerade Teilfolgen) gegen den gleichen Grenzwert konvergieren, so konvergiert auch die Folge gegen diesen.