4. Reihen

4.1 Definition Reihen

Reihe

Sei $(a_n{)}_{n\ge 1}$ eine Folge in $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$. Eine Reihe wird ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k$ geschrieben.
Sie ist definiert als die Folge der Partialsummen $(S_n{)}_{n\ge 1}$, für $S_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k=a_1+a_2+\cdots +a_n$.

Beachte, dass die Reihe ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k$ ein Symbol für den Grenzwert von ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n$ ist. Es ist keine Summe, die Rechenregeln für Summen gelten nur beschränkt.

2.7.1 (Burger) Konvergenz der Reihe

Eine Reihe ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k$ ist konvergent, falls die Folge $(S_n{)}_{n\ge 1}$ der Partialsummen gegen $L<\infty$ konvergiert.
In diesem Fall definieren wir

$$\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k:=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=L$$

wo $L$ auch der Wert der Reihe ist.

Sollte die Folge der Partialsummen divergieren, so nennen wir die Reihe divergent.

Notwendiges Kriterium für Konvergenz

Falls eine Reihe konvergiert, muss zwingend gelten

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$$

d.h. $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ ist eine Nullfolge.
Beachte, die andere Richtung gilt nicht. Siehe harmonische Reihe.

Die folgenden Rechenregeln gelten nur für Konvergente Reihen. Falls sie nicht konvergieren, könnte man hiermit zum Beispiel $0=1$ beweisen.

Rechnen mit Reihen

Es seien ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ und ${\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n$ konvergente Reihen. Dann gilt

$$\sum _{n=0}^{\infty }(a_n+b_n)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n+\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n$$

und

$$\sum _{n=0}^{\infty }C\cdot a_n=C\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(C\in \mathbb{R})$$

Genauso wie bei einer Folge hängt die Konvergenz nicht von den ersten Termen ab.
Anders als bei einer Folge ändern die ersten Terme jedoch den Wert, zu welchem die Reihe konvergiert.

Erste Terme

Es sei ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ eine Reihe. Für $N\in {\mathbb{N}}_0$ ist ${\sum }_{n=N}^{\infty }{a}_n$ genau dann konvergent, wenn ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ konvergiert.
Dann gilt

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n=\sum _{n=0}^{N-1}+\sum _{n=N}^{\infty }{a}_n$$

Konvergenz Positive Folge

Es sei ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ eine Reihe nicht negativer Elemente $a_n\ge 0$, $\forall n\in {\mathbb{N}}_0$.
Dann ist die Folge der Partialsummen $s_n={\sum }_{k=0}^n{a}_k$ monoton wachsend.
Falls die Folge $(s_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ beschränkt ist, konvergiert die Reihe ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$, andernfalls divergiert sie.

Dies gilt nach Weierstrass. Da $S_n$ monoton wächst ($a_n\ge 0$) und beschränkt ist, konvergiert sie.

Beachte, dass ebenso gilt: falls ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ konvergiert, so ist $S_n$ beschränkt.

• ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ konvergiert $⟹$ $S_n$ konvergiert $⟹$ $S_n$ beschränkt (nach Weierstrass, da alle konvergenten Folgen beschränkt sind)

Man sieht also leicht, dass für positif-definite Folgen nur einer von zwei Fällen eintreffe kann:

• $s_n$ ist beschränkt und daher konvergiert die Reihe
• $s_n$ ist nicht beschränkt und daher divergiert die Reihe gegen unendlich.

2.7.9 (Burger) Absolut Konvergent

Die Reihe ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ heißt absolut konvergent, falls ${\sum }_{n=0}^{\infty }|a_n|$ konvergiert.

Eine Reihe ist bedingt Konvergent falls ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ konvergiert, aber nicht absolut konvergiert.

Absolut konvergent $⟹$ konvergent

Eine absolut konvergente Reihe ist auch konvergent und es gilt

$$|\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n|\le \sum _{n=0}^{\infty }|a_n|$$

(verallgemeinerte Dreiecksungleichung)

Wir können die Terme in einer Reihe auch umordnen. Da es eine Summe ist (assoziativ), sollte dies nichts an dem Grenzwert ändern.

Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen (Dirichlet)

Es sei ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ eine absolut konvergente Reihe reeller Summanden und es sei $\varphi :{\mathbb{N}}_0\to {\mathbb{N}}_0$ eine Bijektion.
Dann konvergiert ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_{\varphi (n)}$ absolut und es gilt ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_{\varphi (n)}$.

Dies ist jedoch nur für absolut konvergente Summen der Fall!
Im Falle beding konvergenter Reihen, können wir so umordnen, dass jede beliebige Zahl der Grenzwert wird.

Riemannscher Umordnungssatz

Es sei ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ eine bedingt konvergente Reihe reeller Summanden, und es sei $L\in \mathbb{R}$.
Dann gibt es eine bijektive Abbildung $\varphi :{\mathbb{N}}_0\to {\mathbb{N}}_0$, so dass gilt

$$L=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_{\varphi (n)}$$

$L$ kann auch $\pm \infty$ sein.

Es ist nicht klar welche Form die Doppelreihe $\sum \sum a_n{b}_n$ haben soll (wir können Spalten, Reihen, Diagonal, etc… summieren).

Doppelreihen Theorem

Sei $(a_{ij}{)}_{i,j\ge 0}$ eine Doppelfolge. Nehme an es existiert $B\ge 0$ sodass gilt $\forall m\in \mathbb{N}$:

$$\sum _{i=0}^m\sum _{j=0}^m|a_{ij}|\le B$$

dann gilt folgendes:

• die Spalten- und Reihensumme (${\sum }_{j=0}^{\infty }{a}_{ij}=S_i$ und ${\sum }_{i=0}^{\infty }{a}_{ij}=U_j$) konvergiert absolut.
• Die Reihe der Spalten- und Reihensumme ($\sum S_i$ und $\sum U_j$) konvergiert ebenfalls absolut
• Die beiden Summen sind gleich $\sum S_i=\sum U_j=S$
• Jede linear geordnete Reihe konvergiert ebenfalls absolut gegen diese Summe $S$.

Das Cauchy-Produkt legt eine spezifische lineare Ordnung (Folge die alle Terme $a_{i}j$ enthält) fest:

$$c_n=\sum _{j=0}^n{a}_{n-j}{b}_j=a_n{b}_0+a_{n-1}{b}_1+\cdots +a_0{b}_n$$

Cauchy Produkt

Es seien ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ und ${\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n$ zwei absolut konvergente Reihen, dann gilt

$$\left(\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^n{a}_{n-k}{b}_k\right)$$

und $\sum c_n$ ist ebenfalls absolut konvergent - die summe ist das Produkt der ursprünglichen Reihen.

Beispiel Wir können dank dem Cauchy-Produkt beweisen dass $\exp (z+w)=\exp (z)+\exp (w)$.

4.2 Standard Reihen

4.2.1 Geometrische Reihe

Geometrische Reihe

Sei $q\in \mathbb{C}$. Eine geometrische Reihe ist eine Reihe der Form

$$\sum _{n=0}^{\infty }{q}^n$$

Konvergenz geometrische Reihe

Für $|q|<1$ konvergiert die geometrische Reihe.
Für $|q|\ge 1$ divergiert sie.

Wir können den genauen Grenzwert durch den folgenden Trick bestimmen. Sei die Partialsumme $S_n={\sum }_{k=0}^n{q}^k$. Dann gilt

$$\begin{array}{rl}q{S}_n& =q+q^2+\cdots +q^{n+1}\\ S_n-q{S}_n& =1-q^{n+1}\\ S_n& =\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\end{array}$$

4.2.2 Riemannsche Zeta Funktion (Spezialfall Harmonische Reihe)

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\dots$$

Es gilt:

1. Für $s\le 1$ divergiert die Reihe. (z.B. harmonische Reihe für $s=1$)
2. Für $s>1$ konvergiert die Reihe.

Man kann die Zeta Funktion oft als obere Grenze im Vergleichssatz benutzen (wo Wurzel / Quotientenkriterium versagen).

Harmonische Reihe

Die harmonische Reihe ist ein Spezialfall der Zeta-funktion für $\zeta (1)$. Sie ist definiert als

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}$$

Diese Reihe divergiert, obwohl es so aussieht, als würden die Terme immer kleiner werden. Es stimmt auch das $a_n=\frac{1}{n}$ konvergiert. Das erzwingt aber nicht, dass die Reihe konvergiert.

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots >1+\frac{1}{2}+\underset{=\frac{1}{2}}{\underbrace{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}}+\underset{=\frac{1}{2}}{\underbrace{\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}}}+\cdots$$

Wir können die Terme immer gruppieren, und erhalten dann Päckchen der Größe $1/2$.

4.2.3 Teleskopreihe

Dank Teleskopreihen, können wir jede Folge als Reihe darstellen. Sei $b_n$ eine Folge. Dann definieren wir $a_1=b_1$ und $a_n=b_n-b_{n-1}$. Die Reihe

$$\sum _{k=0}^n{a}_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=b_1+b_2-b_1+b_3-b_2+\cdots +b_n+b_{n-1}=b_n$$

Eine Standard Teleskopreihe ist

$$a_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{n+1}$$

welche dann gegen $1$ konvergiert.

4.2.4 Potenzreihe

Eine Reihe der Form $c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a{)}^2$ $+c_3(x-a{)}^3+\dots$ $={\sum }_{k=0}^{\infty }{c}_k(x-a{)}^k$ heißt Potenzreihe um den Entwicklungspunkt $a$ und mit Koeffizienten $c_0,c_1,c_2,\dots$ und Argument $x$.

Konvergente Potenzreihe

Falls für ein festes $x$ die Folge der Teilsummen

$$s_n(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a{)}^2+\cdots +c_n(x-a{)}^n=\sum _{k=0}^n{c}_k(x-a{)}^k$$

konvergiert, so sagen wir, dass die Potenzreihe für das betrachtete Argument $x$ konvergiert.

Es gelten Folgende Tatsachen:

1. Jede Potenzreihe besitzt einen Konvergenzradius $R$, so dass gilt
   1. Die Reihe konvergiert für $x$ mit $|x-a|<R$
   2. Die Reihe divergiert für $x$ mit $|x-a|>R$
   3. Für $|x-a|=R$ kommt es auf den Einzelfall an.
      1. Für $(-1{)}^n\frac{1}{n}{x}^n$ zum beispiel divergiert für $x=-1$ und konvergiert für $x=-1$.
2. Das Intervall $(a-R,a+R)$ heißt Konvergenzintervall
3. Der Konvergenzradius $R$ lässt sich mit der Formel

$$\rho =\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}|c_n{|}^{1/n}$$

berechnen. Dann ist $R$ gegeben durch $R=0$ falls $\rho =\infty$, $R={\rho }^{-1}$ falls $0<\rho <\infty$ und $R=\infty$ falls $\rho =0$.

Formel von Hadamard

Sei $\rho ={\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }|c_n{|}^{1/n}$. Dann sei $R$ der Konvergenzradius einer Potenzreihe. Dann gilt

$$R=\{\begin{array}{ll}0& \text{falls }\rho =\infty \\ {\rho }^{-1}& \text{falls }0<\rho <\infty \\ \infty & \text{falls }\rho =0\end{array}$$

Konvergenz Potenzreihe

$\sum c_k{z}^k$ konvergiert absolut für alle $z\in \mathbb{C}$ mit $|z|<\rho$ wobei

$$\rho :=\{\begin{array}{ll}+\infty & \text{falls }\mathrm{limsup}(c_k{)}^{1/k}=0\\ \frac{1}{\mathrm{limsup}(c_k{)}^{1/k}}& \text{falls }\mathrm{limsup}(c_k{)}^{1/k}\ne 0\end{array}$$

. Für alle $|z|>\rho$ ist die Reihe divergent.

Proof: (Die Hadamard-Formel ist einfach das Wurzelkriterium umgestellt für |z|)

• Potenzreihe $\sum c_k{z}^k=\sum a_k$ für $a_k=c_k{z}^k$
• Wurzelkriterium: $|a_k{|}^{1/k}=|(c_k{)}^{1/k}||z|$
• $\mathrm{limsup}|(c_k{)}^{1/k}||z|=|z|\mathrm{limsup}|(c_k{)}^{1/k}|<1$
• $⟹|z|<\frac{1}{\mathrm{limsup}|c_k{|}^{1/k}}$
  Konvergiert also genau wenn $|z|<\rho$ also innerhalb des Kreises mit Radius $\rho$.

Beachte, außerdem gilt per Konvention:

• wenn $(c_k{)}^{1/k}$ nicht beschränkt ist setzen wir $\rho =0$ - also konvergiert die Reihe nur für $z=0$
• wenn $(c_k{)}^{1/k}$ beschränkt ist und $\mathrm{limsup}(c_k{)}^{1/k}=0$ setzen wir $\rho =\infty$ - die Reihe konvergiert für alle $z$

Beispiel: Die Exponentialreihe ist ein Beispiel für den letzteren Fall.

4.2.5 Exponentialreihe (Spezialfall Potenzreihe)

Exponentialreihe

Die Exponentialreihe

$$\exp (z):=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{z^n}{n!}$$

ist für alle $z\in \mathbb{C}$ (absolut) konvergent.

4.3 Konvergenzkriterien

4.3.1 Vergleichskriterium (Minoranten- und Majorantenkriterium)

2.7.7 (Burger) Vergleichssatz

Seien ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ und ${\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n$ Reihen und $N\in \mathbb{N}$ sodass gilt $0⩽a_n⩽b_n$
Dann gelten:

$$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\text{ konvergent}⟹\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n\text{ konvergent}\text{(Majorantenkriterium)}$$ $$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n\text{ divergent}⟹\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n\text{ divergent}\text{(Minorantenkriterium)}$$

Proof:

1. Da ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ konvergiert, konvergiert die Folge der Partialsummen. Deswegen ist sie auch beschränkt.
   Da alle $a_k\le b_k$, gilt auch $S_n\le T_n$ ($S_n$ Partialsummen von $\sum a_N$, $T_n$ Partialsummen von $\sum b_n$)
   Dadurch ist auch $S_n$ beschränkt und da sie monoton steigt ($a_n\ge 0$) ist sie auch konvergent. Dadurch ist ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ konvergent.

4.3.2 Leibnitzkriterium

Leibnitzkriterium

Es sei $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ eine monoton fallende Folge nicht-negativer reeller Zahlen, welche gegen Null konvergiert.
Dann konvergiert die alternierende Reihe ${\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n$ und es gilt

$$\sum _{n=0}^{2m+1}(-1{)}^n{a}_n\le \sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n\le \sum _{n=0}^{2m}(-1{)}^n{a}_n\forall m\in {\mathbb{N}}_0$$

Proof Sketch:

1. Die Folge der geraden Partialsummen $S_{2n}$ ist monoton wachsend und beschränkt, konvergiert also gegen $L_1$
2. Die Folge der ungeraden Partialsummen $S_{2n+1}$ ist monoton fallend und beschränkt, konvergiert also gegen $L_2$
3. Da aber gilt $S_{2n-1}-S_{2n}=a_{2n}{\to }_{\infty }=0$ gilt $L_1-L_2=0$ und so konvergieren beide gegen den selben Grenzwert.

Wir können hierdurch zum Beispiel beweisen, dass die alternierende harmonische Reihe konvergiert.

4.3.3 Cauchykriterium

Cauchykriterium

Eine Reihe ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ konvergiert genau dann, wenn für jedes $ϵ>0$ ein Index $N\in {\mathbb{N}}_0$ existiert, so dass für $n>m>N$ gilt

$$|\sum _{k=m+1}^n{a}_k|<ϵ$$

Man kann ${\sum }_{k=m+1}^n{a}_k$ auch als $S_n-S_m$ schreiben. Und für die Folge $S_n$ gilt dann der Cauchy Satz. Falls also $\exists N\in {\mathbb{N}}_0$ sodass $\forall n>m>N$ gilt $|S_n-S_m|<ϵ$, konvergiert die Folge $S_n$.
Die gilt per Annahme und deswegen konvergiert $S_n$. Da die Folge der Partialsummen konvergiert, konvergiert die Reihe.

4.3.4 Wurzelkriterium

Wurzel-Kriterium

Sei $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ eine Folge reeller Zahlen, und es sei

$$\rho =\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}(|a_n|{)}^{1/n}\in \mathbb{R}\cup \{\infty \}$$

Dann gilt:

1. Falls $\rho <1$, konvergiert ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ absolut.
2. Falls $\rho >1$ konvergiert ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ nicht.

Beachte, falls $\rho =1$ ist, können wir nichts genaues aussagen, beide Fälle sind möglich.

In dem Fall dass das Wurzelkriterium versagt, versagt auch das Quotientenkriterium (Wurzel > Quotient).

Proof:

1. Convergence $L<1$
   1. $\sum a_n\ge 0$, $L=\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\left|{a_n}^{1/n}\right|<1$.
2. Choose $q$ with $L<q<1$. Since $\mathrm{limsup}\left|{a_n}^{1/n}\right|=L$, there exists $N$ such that for all $n\ge N$:

$$\left|{a_n}^{1/n}\right|\le q⟹\left|a_n\right|\le q^n$$

3. So $\sum_{n=N}^{\infty} \left| a_n \right| \leq \sum_{n=N}^{\infty} q^n < \infty$ (geometric series, $q < 1$).
4. Hence $\sum \left| a_n \right|$ converges.  (Majorantenkriterium)

2. Divergence $L>1$
1. $\sum a_n\ge 0$, $L=\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\left|{a_n}^{1/n}\right|>1$.
2. Since $\mathrm{limsup}\left|{a_n}^{1/n}\right|>1$, there exist infinitely many $n$ such that:

$$\left|{a_n}^{1/n}\right|>1⟹|a_n|>1$$

3. So $|a_n| \not\to 0$, hence $\sum a_n$ diverges.

4.3.5 Quotienten-Kriterium

Quotienten-Kriterium (dieses Jahr)

Es sei $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ eine Folge reeller Zahlen mit $\forall n\in {\mathbb{N}}_0{a}_n\ne 0$ und es sei

$$\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$$

Dann gilt:

1. Falls $\rho <1$, konvergiert ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ absolut.
2. Falls $\rho >1$, konvergiert ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ nicht.

Beachte, falls $\rho =1$ ist, können wir nichts genaues aussagen, beide Fälle sind möglich. Beispiel dafür ist $1/n$ und $1/n^2$ die beide $1$ liefern.

Last year

Let (an)n≥1 be a sequence of real or complex numbers with an=0 for all n≥1.

1. Convergence: If ${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }|\frac{a_n}{a_{n+1}}|<1$, then the series ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k$ converges absolutely.
2. Divergence: If ${\mathrm{liminf}}_{n\to \infty }|\frac{a_n}{a_{n+1}}|>1$, then the series ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k$ diverges.

Note that for convergence we use limsup, and for divergence we need liminf.
Beispiel: $a_1=1$ und $a_n=\{\begin{array}{ll}2a_{n-1}& \text{falls }n=3^k\\ \frac{1}{2}{a}_{n-1}& \text{sonst}\end{array}$. Dann ist $\mathrm{liminf}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=1/2<1$ und $\mathrm{limsup}=2>1$. Die Reihe konvergiert aber. Deswegen können wir nicht sagen, dass falls $\mathrm{limsup}>1$ dann divergiert die Reihe.

Proof:

1. $\sum a_n\ge 0$, $L=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1$.
2. Choose $q$ with $L<q<1$. Since $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to L$, there exists $N$ such that for all $n\ge N$:

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le q⟹\left|a_{N+k}\right|\le \left|a_N\right|\cdot q^k$$

2. So $\sum_{k=0}^{\infty} \left| a_{N+k} \right| \leq \left| a_N \right| \sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{\left| a_N \right|}{1-q} < \infty$ (geometric series, $q < 1$).
3. Hence $\sum a_n$ converges. 

2. $\sum a_n\ge 0$, $L=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1$.

1. Choose $q$ with $1<q<L$. There exists $N$ such that for all $n\ge N$:

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge q>1⟹\left|a_{N+k}\right|\ge \left|a_N\right|\cdot q^k\to \infty$$

2. So $\left| a_n\right|  \not\to 0$, hence $\sum a_n$ diverges. 

4.3.6 Grenzwertkriterium

Grenzwertkriterium

Es seien $\sum a_n$ und $\sum b_n$ zwei unendliche Reihen mit positiven Summanden (d. h. $a_n>0$ und $b_n>0$ für alle $n$). Dann gilt:

1. Ist ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{b_n}=g$ mit $0<g<\infty$, so haben $\sum a_n$ und $\sum b_n$ das gleiche Konvergenzverhalten.
2. Ist ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{b_n}=0$ und konvergiert $\sum b_n$, so konvergiert auch $\sum a_n$.
3. Ist ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{b_n}=\infty$ und divergiert $\sum b_n$, so divergiert auch $\sum a_n$.

Insbesondere gilt: Konvergiert die Folge $\frac{a_n}{b_n}$ gegen einen Wert $g$ mit $0<g<\infty$, so konvergiert $\sum a_n$ genau dann, wenn $\sum b_n$ konvergiert.

Proof Sketch

• Ist ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{b_n}=g$ mit $0<g<\infty$
• So gilt $\frac{a_n}{b_n}\le g+\epsilon$ und daher $a_n\le (g+\epsilon )b_n$ für ein geeignetes $\epsilon >0$ und alle genügend großen $n$.
• Nach dem Majorantenkriterium folgt aus der Konvergenz von $\sum b_n$ die Konvergenz von $\sum a_n$.

Example ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+3n}$ Wähle die Vergleichsreihe $b_n=\frac{1}{n^2}$. Dann:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2}{n^2+3n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{1+\frac{3}{n}}=1$$

Da $g=1$ (also $0<g<\infty$) und $\sum \frac{1}{n^2}$ als konvergente $p$-Reihe ($p=2>1$) bekannt ist, konvergiert auch $\sum \frac{1}{n^2+3n}$ nach dem Grenzwertkriterium.

4.3.7 Cauchy-Verdichtungssatz

3.12 Cauchy Verdichtungssatz

Es sei $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ eine monoton fallende Folge nicht-negativer Elemente $a_n\ge 0$.
Dann gilt

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n\text{ konvergiert}⟺\sum _{n=0}^{\infty }{2}^n{a}_{2^n}\text{ konvergiert}$$

Proof

• Weil $a_n$ monoton fällt gilt $2^n{a}_{2^n}\ge a_{2^k+1}+a_{2^k+2}+\cdots +a_{2^{k+1}-1}$.
• Wir benutzen das Majorantenkriterium mit

$$\begin{array}{rl}\sum _{k=0}^n{2}^k{a}_{2^k}& \ge \sum _{k=0}^n(a_{2^k+1}+a_{2^k+2}+\cdots +a_{2^{k+1}-1})=\sum _{j=1}^{2^n+1}{a}_j\\ & \ge \sum _{k=0}^n{2}^k{a}_{2^{k+1}}=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{n+1}{2}^k{a}_{2^k}\end{array}$$

• Konvergiert $\sum a_n$ konvergiert auch $(s_n)$ die Folge der Partialsummen und damit auch die Folge der Partialsummen $(s_{2^{n+1}})$. Damit konvergiert auch die Folge der Partialsummen $(S_{n+1})$, $S_{n+1}={\sum }_{k=1}^{n+1}{2}^k{a}_{2^k}$.
• Und dann konvergiert auch ${\sum }^{\infty }{2}^k{a}_{2^k}$ nach dem Majorantenkriterium.