7. Taylorreihen

7.1 Lokale Approximation durch Polynome

Man kann mit Hilfe der Tangente eine Funktion lokal approximieren.

1. Taylor Approximation

$$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)=P_1(x)$$

Dieser Ausdruck wird auch Linearisierung oder 1. Taylorpolynom an $x_0$ genannt.

7.2 Approximation durch Potenzreihen

Wir können diese Idee erweitern, in dem wir weiter Ableiten und ein Polynom höheren Grades bauen.

Die Idee: Wir suchen ein Polynom $P_n(x)={\sum }_{k=0}^n{a}_k(x-x_0{)}^k$, das $f$ bei $x_0$ so gut wie möglich approximiert:

• In Wert und allen Ableitungen bis Ordnung $n$: $P_n^{(k)}(x_0)=f^{(k)}(x_0)\text{fu¨r }k=0,1,\dots ,n$
• Leitet man $P_n$ genau $k$-mal ab und setzt $x=x_0$, verschwinden alle Terme ausser dem $k$-ten: $P_n^{(k)}(x_0)=k!\cdot a_k$
• Also muss gelten $a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$.

Intuition: Das Taylorpolynom ist das eindeutige Polynom vom Grad $\le n$, das $f$ in $x_0$ bis zur $n$-ten Ableitung imitiert. Jeder Koeffizient ist dafür verantwortlich, genau eine Ableitung zu treffen.

Satz von Taylor

Se $f$ eine glatte Funktion auf dem Interval $I$ mit $x_0\in I$ ist. Dann gilt für alle $x\in I$:

$$\begin{array}{rl}f(x)& =f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n\\ & =\sum _{k=0}^n{f}^{(k)}(x_0)\frac{1}{k!}(x-x_0{)}^k+\frac{1}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}(c)(x-x_0{)}^{n+1}\\ & =P_n(x)+R_n(x)\end{array}$$

für ein $c\in [x_0,x]$. $P_n$ heißt $n$-tes Taylorpolynom. $R_n$ ist der Rest / Abweichung / Fehler.

Note, für ein $f$ Polynom vom $n$-ten Grad, gibt $P_n$ die Funktion exakt wieder.

Restglied $R_n$

Sei $R_n(x):=f(x)-P_n(x)$. Differentiation und verallgemeinerter Mittelwertsatz $⟹$ es gibt genau ein $c$ zwischen $x_0$ und $x$ gibt mit

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$$

Fehlerabschätzung: Falls $\left|f^{(n+1)}(t)\right|\le M$ für alle $t\in [x_0,x]$, dann $|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-x_0{|}^{n+1}$

Example: Für $f(x)=\sin (x)$, $x_0=0$, gilt $|f^{(n+1)}|\le 1$ überall. Also ist der Fehler des $n$-ten Taylorpolynoms bei $x=1$ höchstens $\frac{1}{(n+1)!}$.

TODO:

• warum konvergiert der shit (rest geht gegen 0?)
• stetigkeit der Taylorreihen (innerhalb konvergenzradius) → see SW10Mittwoch

Es sei angemerkt, dass für eine Taylorreihe $P(x)={\sum }_{k=0}^{\infty }$, für jedes $x$ im Konvergenzintervall die Reihe konvergiert.
Das heißt jedoch noch nicht, dass $P(x)$ stetig ist, auch wenn alle $P_n(x)$ stetig sind.

Gleichmässige Konvergenz von Taylorreihen

Taylorreihen sind im Konvergenzintervall stetig.

The partial sums $p_n(x)={\sum }_{k=0}^{n-1}{a}_k{x}^k$ are polynomials, hence continuous.
Proof: Sei $P(x)={\sum }_{k=0}^{\infty }{a}_k{x}^k$ und $P_n(x)={\sum }_{k=0}^{n-1}{a}_k{x}^k$. Sei $x$ im Konvergenzintervall $(-S,S)$

• Sei $r$ Hilfsgröße sodass $|x|<r$ und wir betrachten $r<s<S$.

$$|p(x)-p_n(x)|=\left|\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k{x}^k-\sum _{k=0}^{n-1}{a}_k{x}^k\right|=\left|\sum _{k=n}^{\infty }{a}_k{x}^k\right|$$

• da $|x|<r$ gilt

$$\le \sum _{k=n}^{\infty }|a_k||x{|}^k\le \sum _{k=n}^{\infty }|a_k|r^k$$

• wir schreiben $r$ als $\frac{r}{s}\cdot s$

$$=\sum _{k=n}^{\infty }|a_k|{\left(\frac{r}{s}\right)}^k{s}^k\le {\left(\frac{r}{s}\right)}^n\sum _{k=n}^{\infty }|a_k|s^k\stackrel{n\to \infty }{\to }0$$

wobei ${\sum }_{k=n}^{\infty }|a_k|s^k<\infty$ da $s<S$ $(\approx p(s))$ - im Konvergenzintervall.
Gleichmäßige Konvergenz von $P_n$ nach $P$ $⟹$ da $P_n$ stetig ist auch $P$ stetig (man kann nicht gleichmäßig gegen unstetige Funktion konvergieren - Theorem 4.39).
Nach der Definition von gleichmäßiger Konvergenz ist jede Taylorreihe im Konvergenzintervall also stetig.

Referenz-Taylorentwicklungen

DEFINITION

Die folgenden Taylorreihen konvergieren für alle $x$:

1. $\sin (x)$
2. $\cos (x)$
3. $e^x$

Wir wissen, dass gilt:

$$\sin (x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}=x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5$$ $$\cos (x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{(2n)!}{x}^{2n}=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4}{x}^4$$ $$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{x}^n=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+\dots$$

DEFINITION

Die folgenden Taylorreihen konvergieren nur für $-1<x<1$:

1. $\ln (1+x)$
2. $\frac{1}{1-x}$
3. $(1+x{)}^p$

$$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}{x}^n=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4+\dots$$ $$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n=1+x+x^2+x^3+x^4+\dots$$ $$(1+x{)}^p=\sum _{n=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{n})x^n=1+px+\frac{p(p-1)}{2!}{x}^2+\dots$$

7.3 Rechnen mit Taylorreihen

Dadurch das Taylorreihen eigentlich nur (konvergente) Summen sind, haben sie einige praktische Eigenschaften, die das Rechnen mit ihnen erleichtern.

Multiplikation von Reihen

Wir betrachten zwei Potenzreihen

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n,g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n$$

wobei $x$ im Konvergenzintervall beider Reihen ist.
Dann gilt

$$f(x)\cdot g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}\right)x^n$$

Note, die Doppelsumme ist “Summe über alle Möglichkeiten Potenz $u$ von $x$ zu erhalten”.

Termweises Ableiten

Wir beginnen mit der Darstellung einer Funktion durch eine Potenzreihe,

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$$

dabei ist wiederum $x$ im Konvergenzintervall $I$. Dann ist $f$ differenzierbar, und es gilt

$$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}$$

Termweises Integrieren

Wir beginnen mit der Darstellung einer Funktion durch eine Potenzreihe,

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n,$$

dabei ist wiederum $x$ im Konvergenzintervall $I$. Dann ist $f$ auf dem Intervall $[a,b]\subset I$ integrierbar, und es gilt

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\int }_a^b{a}_n{x}^{n}dx$$

Tricks

Substitution

See Michaels Chap 14.3 p. 293

From a known Taylorseries, like that of $\frac{1}{1-x}={\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n$ (for $|x|<1$), we can derive the Taylorseries of an unknown function.
Take $\frac{1}{1+x^2}$. In the above function, we substitute $x=-x^2$. Then we get

$$\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{1-(-x^2)}=\sum _{n=0}^{\infty }(-x^2{)}^n=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^{2n}=1-x^2+x^4-x^6+\dots$$

Note, be careful with convergence radii: for $|x|<1$ we get $|-x^2|<1⟹x^2<1⟹|x|<1$.

Integration

See Michaels Chap14.3 p.296

Since we can termwise derive and integrate, we can easily get the integrals of complicated functions using their taylor expansion.
We know $\int \frac{1}{1-x}=-\log (1-x)$. Thus $\int {\sum }_{n=0}^n{x}^{n}dx=\int (1+x+x^2+\dots )dx=x+\frac{x^2}{2}+\cdots +C={\sum }_{n=1}^{\infty }=\frac{x^n}{n}+C$
Therefore $\log (1-x)=-{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\dots$