2. Alphabete, Wörter, Sprachen, ...

TODO:

2 Alphabete, Wörter, Sprachen und die Darstellung von Problemen

2.2 Alphabete, Wörter und Sprachen

Alphabet (2.1)

Eine endliche nichtleere Menge $\Sigma$ heißt Alphabet. Die Elemente eines Alphabets heißen Buchstaben (Zeichen, Symbole).

Häufige Alphabete:

• ${\Sigma }_{\text{bool}}=\{0,1\}$
• ${\Sigma }_{\text{lat}}=\{a,b,\dots ,z\}$
• ${\Sigma }_{\text{Tastatur}}={\Sigma }_{\text{lat}}\cup \{A,\dots ,Z,\bigsqcup ,>,<,(,),\dots ,!\}$ mit Leersymbol $\bigsqcup$
• ${\Sigma }_m=\{0,1,\dots ,m-1\}$ für $m\ge 1$ ($m$-adische Zahlen)
• ${\Sigma }_{\text{logic}}=\{0,1,x,(,),\wedge ,\vee ,\neg \}$.

Wort (2.2)

Ein Wort über $\Sigma$ ist eine endliche (eventuell leere) Folge von Buchstaben aus $\Sigma$. Das leere Wort $\lambda$ (auch $\epsilon$) ist die leere Buchstabenfolge.

Die Länge $|w|$ eines Wortes $w$ ist die Anzahl der Vorkommen von Buchstaben in $w$.

Kleene-Stern

${\Sigma }^{\ast }$ ist die Menge aller Wörter über $\Sigma$, ${\Sigma }^{+}={\Sigma }^{\ast }-\{\lambda \}$. (infinite bitstrings)

Alle Wörter über $\Sigma$ lassen sich aufzählen, indem man die Wörter der Länge $i=0,1,2,\dots$ hintereinander schreibt.

Konkatenation (2.3)

Die Verkettung (Konkatenation) für ein Alphabet $\Sigma$ ist die Abbildung $\text{Kon}:{\Sigma }^{\ast }\times {\Sigma }^{\ast }\to {\Sigma }^{\ast }$ mit

$$\text{Kon}(x,y)=x\cdot y=xy\text{fu¨r alle }x,y\in {\Sigma }^{\ast }$$

Note: Für alle $x,y\in {\Sigma }^{\ast }$ gilt $|xy|=|x|+|y|$.

• $\text{Kon}$ ist assoziativ und $x\lambda =\lambda x=x$, also ist $({\Sigma }^{\ast },\text{Kon})$ ein Monoid mit neutralem Element $\lambda$.
• $|\Sigma |=1⟹$ $\text{Kon}$ kommutativ.

Umkehrung (2.4)

Für $a=a_1{a}_2\dots a_n$, $a_i\in \Sigma$, ist $a^R=a_n{a}_{n-1}\dots a_1$ die Umkehrung (Reversal) von $a$.

Note: Es gilt $(uv{)}^R=v^R{u}^R$

Iteration (2.5)

Für $x\in {\Sigma }^{\ast }$ und $i\in \mathbb{N}$ ist die $i$-te Iteration $x^i$ definiert durch

$$x^0=\lambda ,x^1=x,x^i=x{x}^{i-1}$$

Wir verwenden die folgenden Begriffe um Wörter zu beschreiben.

Teilwort, Präfix, Suffix (2.6)

Seien $v,w\in {\Sigma }^{\ast }$.

• $v$ ist ein Teilwort von $w$ $⟺\exists x,y\in {\Sigma }^{\ast }:w=xvy$.
• $v$ ist ein Präfix von $w$ $⟺\exists y\in {\Sigma }^{\ast }:w=vy$.
• $v$ ist ein Suffix von $w$ $⟺\exists x\in {\Sigma }^{\ast }:w=xv$.
• $v\ne \lambda$ ist ein echtes Teilwort (Präfix, Suffix) von $w$ $⟺$ $v\ne w$ und $v$ ist ein Teilwort (Präfix, Suffix) von $w$.

Anzahl Vorkommen (2.7)

Für $x\in {\Sigma }^{\ast }$ und $a\in \Sigma$ ist $|x{|}_a$ die Anzahl der Vorkommen von $a$ in $x$.

Note: Es gilt $|x|={\sum }_{a\in \Sigma }|x{|}_a$.

Kanonische Ordnung (2.8)

Sei $\Sigma =\{s_1,\dots ,s_m\}$, $m\ge 1$, mit Ordnung $s_1<s_2<\cdots <s_m$. Die kanonische Ordnung auf ${\Sigma }^{\ast }$ ist für $u,v\in {\Sigma }^{\ast }$:

$$u<v⟺|u|<|v|\vee (|u|=|v|\wedge u=x\cdot s_i\cdot u^{\prime }\wedge v=x\cdot s_j\cdot v^{\prime })$$

für irgendwelche $x,u^{\prime },v^{\prime }\in {\Sigma }^{\ast }$ und $i<j$.

Note: Wir sortieren also nach Länge und dann von links nach rechts nach Buchstaben.

Sprache (2.9)

Eine Sprache $L$ über $\Sigma$ ist eine Teilmenge von ${\Sigma }^{\ast }$.

Properties:

• Das Komplement von $L$ bezüglich $\Sigma$ ist $L^{\complement }={\Sigma }^{\ast }-L$.
• $L_{\varnothing }=\varnothing$ ist die leere Sprache, $L_{\lambda }=\{\lambda \}$.

Konkatenation

Für Sprachen $L_1,L_2$ über $\Sigma$ ist die Konkatenation

$$L_1\cdot L_2=L_1{L}_2=\{vw\mid v\in L_1\text{ und }w\in L_2\}$$

ACHTUNG: $\varnothing \cdot L=\varnothing$ while $L_{\lambda }\cdot L=L$.

Es gilt für eine Sprache $L$ über $\Sigma$ mit ${\Sigma }^i=\{x\in {\Sigma }^{\ast }\mid |x|=i\}$, $L_{\varnothing }L=L_{\varnothing }$ und $L_{\lambda }L=L$:

• $L^0:=L_{\lambda }$
• $L^{i+1}=L^i\cdot L$
• $L^{\ast }={\bigcup }_{i\in \mathbb{N}}{L}^i$ and $L^{+}={\bigcup }_{i\in \mathbb{N}-\{0\}}{L}^i=L\cdot L^{\ast }$
  • $L^{\ast }$ heißt Kleene’scher Stern von $L$

Lemmas: Für $L_1,L_2,L_3$ gilt:

• $L_1{L}_2\cup L_1{L}_3=L_1(L_2\cup L_3)$
• $L_1(L_2\cap L_3)\subseteq L_1{L}_2\cap L_1{L}_3$
  • Die Umkehrung gilt nicht
    • $x\in L_1{L}_2\cap L_1{L}_3$ zwei verschiedene Zerlegungen $x=y_1{z}_1=y_2{z}_2$ mit $y_1\ne y_2$, $z_1\in L_2$, $z_2\in L_3$ haben kann.
• Es existieren $U_1,U_2,U_3\subseteq ({\Sigma }_{\text{bool}}{)}^{\ast }$ mit $U_1(U_2\cap U_3)⊊U_1{U}_2\cap U_1{U}_3$
  • Proof: $U_2=\{0\}$, $U_3=\{10\}$, also $U_2\cap U_3=\varnothing$ und $U_1(U_2\cap U_3)=\varnothing$. Mit $U_1=\{\lambda ,1\}$ ist $U_1{U}_2=\{0,10\}$, $U_1{U}_3=\{10,110\}$, also $U_1{U}_2\cap U_1{U}_3=\{10\}$.

Homomorphismus (2.10)

Seien ${\Sigma }_1,{\Sigma }_2$ Alphabete. Ein Homomorphismus von ${\Sigma }_1^{\ast }$ nach ${\Sigma }_2^{\ast }$ ist jede Funktion $h:{\Sigma }_1^{\ast }\to {\Sigma }_2^{\ast }$ mit

1. $h(\lambda )=\lambda$ und
2. $h(uv)=h(u)\cdot h(v)$ für alle $u,v\in {\Sigma }_1^{\ast }$.

Ein Homomorphismus ist durch die Werte $h(a)$ für alle $a\in {\Sigma }_1$ festgelegt.

Example: $h(\#)=10$, $h(0)=00$, $h(1)=11$ ist ein Homomorphismus von $\{0,1,\#{\}}^{\ast }$ nach $({\Sigma }_{\text{bool}}{)}^{\ast }$, z.B. $h(011\#101\#)=0011111011001110$. Damit lässt sich jede eindeutige Darstellung über $\{0,1,\#\}$ in eine eindeutige Darstellung über ${\Sigma }_{\text{bool}}$ überführen.