1. Grundlagen

TODO:

• Def. 9.4: Metrischer Raum, mit Beispielen: diskrete Metrik, Manhattan-Metrik, induzierte Metrik auf Teilmengen (Bsp. 9.11–9.14). Die Folien arbeiten nur in ${\mathbb{R}}^n$ mit der Euklidischen Metrik
• 9.41: Ob eine Menge offen ist, hängt vom umgebenden Raum ab ($[0,1)$ ist offen in $[0,2]$, aber nicht in $\mathbb{R}$)
• Thm. 9.59: Banachscher Fixpunktsatz

1.1 Folgen

Wir können nun Folgen in mehreren Dimensionen definieren.

Folge

Eine Folge $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ in ${\mathbb{R}}^n$ ist eine Abbildung/Funktion $\mathbb{N}\to {\mathbb{R}}^n$ und das Bild $x(n)=x_n$ nennt man $n$-tes Glied/Element der Folge. Notation:

$$x_s=\left(\begin{array}{c}{x}_{1,s}\\ x_{2,s}\\ x_{n-1,s}\\ \dots \\ x_{n,s}\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^n$$

Konvergenz

Sei $(x_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ eine Folge in ${\mathbb{R}}^n$. Die Folge konvergiert gegen $y\in {\mathbb{R}}^n$, falls

$$\forall \epsilon >0\exists N>0\forall n>N:\Vert x_n-y\Vert <\epsilon$$

$y$ heisst dann Grenzwert, und man schreibt ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=y$. Existiert kein solches $y$, heisst die Folge divergent.

Eindeutigkeit des Grenzwerts

Jede konvergente Folge in ${\mathbb{R}}^n$ besitzt einen eindeutigen Grenzwert.

Koordinatenweise Konvergenz

Eine Folge in $\left({\mathbb{R}}^n,d(x,y)=\Vert x-y\Vert \right)$ konvergiert genau dann, wenn sie koordinatenweise konvergiert.

2.1 Mengen (Topologie von ${\mathbb{R}}^n$)

TODO: Serie 1 properties abgeschlossen proof!

• wenn funktion, urbild und stetig dann auch wieder same thing oder so?

Gemeint ist mit $X={\mathbb{R}}^n$ ein metrischer Raum.

Offener Ball

Sei $x\in {\mathbb{R}}^n$ und $r>0$. Der offene Ball um $x$ mit Radius $r$ ist

$$B_r(x)=B(x,r):=\left\{y\in {\mathbb{R}}^n|\Vert x-y\Vert <r\right\}$$

Offene und abgeschlossene Mengen

• Eine Teilmenge $A\subset {\mathbb{R}}^n$ heisst offen, falls für jedes $y\in A$ ein Ball $B_r(y)$ existiert mit $B_r(y)\subset A$.
• Eine Teilmenge $A\subset {\mathbb{R}}^n$ heisst abgeschlossen, falls ${\mathbb{R}}^n\setminus A$ offen ist.

Note: Mengen können weder offen noch abgeschlossen sein: $[0,1)\subset \mathbb{R}$.
Note: Nur $\varnothing$ und ${\mathbb{R}}^n$ sind gleichzeitig offen und abgeschlossen.

Schnitte und Vereinigungen

1. Endliche Schnitte und beliebige Vereinigungen offener Mengen in ${\mathbb{R}}^n$ sind offen.
2. Endliche Vereinigungen und beliebige Schnitte abgeschlossener Mengen in ${\mathbb{R}}^n$ sind abgeschlossen.

Für unendliche viele Mengen gilt dies nicht:

• offen: $O_n=(-1/n,1/n)$. Die Vereinigung aller ${\bigcap }_{n\in \mathbb{N}}{O}_n=\{0\}$ und $\{0\}$ ist abgeschlossen nicht offen
• abgeschlossen: $C_n=[\frac{1}{n},\infty )$ sind abgeschlossen ($(-\infty ,1/n)$ ist offen) aber ihre Vereinigung $=(0,\infty )$ welche offen ist.

Inneres, Abschluss, Rand

Sei $A\subset {\mathbb{R}}^n$.

• Das Innere von $A$ ist $A^{\circ }=\mathrm{int}(A):=\bigcup \{E\subset A\mid E\text{ offen}\}$, die grösste offene Menge, die in $A$ enthalten ist.
• Der Abschluss von $A$ ist $\overline{A}:=\bigcap \{U\supset A\mid U\text{ abgeschlossen}\}$, die kleinste abgeschlossene Menge, die $A$ enthält.
• Der (topologische) Rand von $A$ ist $\overline{A}\setminus A^{\circ }$.

Definitionen für Punkte:

• Innerer Punkt: ein Punkt $x\in {\mathbb{R}}^n$ heißt innerer Punkt von $X\subset {\mathbb{R}}^n$ wenn $ϵ>0$ existiert, sodass $B_{ϵ}(x)\subset X$
  • ein Punkt um den ein Ball liegt, welcher Ganz in $X$ ist
• Äußerer Punkt: wenn $x$ ein innerer Punkt des Komplements $X^C=R^n\setminus X$ ist
  • es liegt also ein Ball um $x$, welcher $X$ nicht berührt.
• Randpunkt: weder ein innerer, noch äußerer Punkt.
  • schneidet sowohl $X$ als auch $X^C$.

Folgenkriterium Offenheit

1. $A\subset {\mathbb{R}}^n$ ist genau dann offen, wenn für jede konvergente Folge $(x_m{)}_{m\in {\mathbb{N}}_0}$ mit Grenzwert $x\in A$ gilt:

$$\exists N\in \mathbb{N}\forall m>N:x_m\in A$$

Dies lässt sich anhand der “Ball”-Definition der Offenheit zeigen.

Folgenkriterium für Abgeschlossenheit

$A\subset {\mathbb{R}}^n$ ist genau dann abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge $(x_m{)}_{m\in {\mathbb{N}}_0}\subset A$ mit Grenzwert $x$ gilt: $x\in A$.

Note: Es gilt

$$\begin{array}{rl}X\text{abgeschlossen}& ⟺X\text{entha¨lt alle seine Ha¨ufungspunkte}\\ X\text{abgeschlossen}& ⟺X\text{entha¨lt alle seine Randpunkte}\end{array}$$

Urbild

Sei $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ stetig. Dann ist für jede abgeschlossene Menge $A\subset {\mathbb{R}}^m$ das Urbild $f^{-1}(A)$ abgeschlossen.
Das Gleiche gilt für offene Mengen.

Beispiel: Let $A=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2\le 4\}$, $B=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2<2\}$ and $f(x)=x^2+y^2$.

• since $(-\infty ,4]$ is closed, $f^{-1}((-\infty ,4])$ must be closed as well. Thus $A$ is closed!
• since $(-\infty ,2)$ is open, $B=f^{-1}((-\infty ,2))$ is open as well!

Note this does not run in the forwards direction!

• $f(x)=x^2$ then $f((-1,1))=[0,1)$ which is neither open nor closed.
• $f(x)=\arctan (x)$ then $f(\mathbb{R})=(-\pi /2,\pi /2)$ is open, while $\mathbb{R}$ is closed.

Folgende Eigenschaften gelten für kompakte Mengen im ${\mathbb{R}}^n$.

Kompaktheit

$K\subset {\mathbb{R}}^n$ heisst kompakt, falls jede Folge $(x_s{)}_{s\in {\mathbb{N}}_0}\subset K$ eine in $K$ konvergente Teilfolge besitzt.

Heine–Borel

$K\subset {\mathbb{R}}^n$ ist genau dann kompakt, wenn $K$ abgeschlossen und beschränkt ist.

3.1 Funktionen

1.3.1 Niveaulinien

Graph und Niveaulinien

Der Graph von $f:D(f)\subset {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ ist

$$\left\{(x,y,f(x,y))|(x,y)\in D(f)\right\}$$

Niveaulinie

Eine Niveaulinie ist die Menge der Punkte mit gemeinsamem Funktionswert.

1.3.2 Grenzwerte und Stetigkeit

Grenzwert einer Funktion

Sei $U\subset {\mathbb{R}}^n$ offen, $f:U\to {\mathbb{R}}^m$ und $x^{\ast }\in U$. Existiert für jede beliebige Folge $(x_k{)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}\subset U$ mit $x_k\to x^{\ast }$ ein gemeinsames (“universelles”, von der Folge unabhängiges) $y^{\ast }\in {\mathbb{R}}^m$ mit

$$f(x_k)\to y^{\ast }$$

so heisst $y^{\ast }$ der Grenzwert von $f$ für $x_k\to x^{\ast }$, geschrieben ${\lim }_{x_k\to x^{\ast }}f(x_k)=y^{\ast }$.

Stetigkeit

$f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ heisst stetig, falls

• für alle $x\in {\mathbb{R}}^n$ gilt

$$\forall \epsilon >0\exists \delta >0:\Vert x-x^{\prime }\Vert <\delta ⟹\Vert f(x)-f(x^{\prime })\Vert <\epsilon$$

• oder (äquivalent) für jede Folge $(x_k{)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}\subset {\mathbb{R}}^n$ mit $x_k\to x$ die Folge ${\left(f(x_k)\right)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ in ${\mathbb{R}}^m$ gegen $f(x)$ konvergiert.

Da alle Normen in ${\mathbb{R}}^n$ equivalent sind, können wir uns eine aussuchen, welche den Proof am einfachsten macht.

Note: wenn für alle offenen $U\subseteq {\mathbb{R}}^m$ $f^{-1}(U)$ in $D$ offen ist, ist $f$ auch stetig.
Note: die Komposition, Summe, Differenz, Quotient (nicht $=0$), Multiplikation von stetigen Funktionen ist wieder stetig.

Beispiel: nicht stetig in $(0,0)$.

1.3.3 Kompaktheit

Existenz von Maximum und Minimum

Sei $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ stetig und $K\subset {\mathbb{R}}^n$ kompakt. Dann nimmt $f$ auf $K$ Maximum und Minimum an, d.h. es existieren $\underline{x},\overline{x}\in K$ mit

$$f(\underline{x})\le f(x)\le f(\overline{x})\forall x\in K$$

Note: $K\ne \varnothing$ ist vorausgesetzt.