5. Funktionen

5.1 Grundlagen

Funktion

Eine Funktion $f:D\to R$ hat einen Definitionsbereich $\text{domain}(f)=D$ und einen Wertebereich $\text{range/image}(f)=R$.
Der Input heißt unabhängige Variable (Argument) und der Output abhängige Variable.

Komposition

Sei $f:X\to Y$ und $g:Y\to Z$.

$$g\circ f:X\to Z\text{ mit }(g\circ f)(x)=g(f(x))$$

$f$ ist die innere und $g$ die äußere Funktion.

4.6 Einschränkung / Restriktion

Es sei $f:\mathbb{D}(f)\to \mathbb{R}$ mit $\mathbb{D}(f)\ne \varnothing$ und es sei weiters $D^{\prime }\subset \mathcal{D}(f)$.
Dann kann man die Einschränkung/Restriktion von $f$ auf $D^{\prime }$ betrachten, die Funktion

$$f{\mid }_{D^{\prime }}:D^{\prime }\to \mathbb{R}\text{ mit }f{\mid }_{D^{\prime }}(x)=f(x)\forall x\in D^{\prime }$$

Man beachte, dass $f$ und $f{\mid }_{D^{\prime }}$ a priori zwei verschiedene Funktionen sind.

Beispiel $\overline{f}:{\mathbb{R}}_0^{+}\to {\mathbb{R}}_0^{+}$ $f(x)=x^2$ ist bijektiv.

4.2 Beschränkt

Es sei $f:\mathcal{D}(f)\to \mathcal{R}$ mit $\mathcal{D}(f)\ne \varnothing$. Dann heißt

1. $f$ nach oben beschränkt, falls $M\in \mathbb{R}$ existiert mit $f(x)\le M$ $\forall x\in \mathbb{D}(f)$.
2. $f$ nach unten beschränkt, falls $M\in \mathbb{R}$ existiert mit $f(x)\ge M$ $\forall x\in \mathbb{D}(f)$.
3. $f$ beschränkt, falls $M\in \mathbb{R}$ existiert mit $|f(x)|\le M$ $\forall x\in \mathbb{D}(f)$.

5.1.1 Spezielle Funktionen

4.8 Identität

Es sei $X\ne \varnothing$ eine beliebige Menge.
Dann ist die Identitätsfunktion ${\text{id}}_X$ definiert als

$${\text{id}}_X(x)=x\forall x\in X$$

4.8 Umkehrfunktion

Falls eine Abbildung $f:X\to Y$ bijektiv ist, gibt es eine eindeutige Funktion $g:Y\to X$ mit der Eigenschaft

$$g\circ f={\text{id}}_X\text{ und }f\circ g={\text{id}}_Y$$

Diese Funktion nennt man Inverse (Umkehrfunktion) und wird mit $f^{-1}$ bezeichnet.

5.1.2 Properties

Monoton Wachsend / Fallend

Wir betrachten eine Funktion $f:X=\mathbb{D}(f)\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Diese Funktion nennen wir

• monoton wachsend, falls gilt:

$$\forall x_1,x_2\in X(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2))$$

• monoton fallend, falls gilt:

$$\forall x_1,x_2\in X(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2))$$

Streng Monton

Eine Funktion ist streng monoton wachsend / fallend falls die Ungleichung mit $>$ (oder $<$) gilt.

4.12 Monoton $⟹$ injektiv

Jede streng monotone Funktion ist injektiv.

Proof: Nehme an wir haben eine streng monotone Funktion $f$ die nicht injektiv ist.

• Dann gilt $\exists x_1,x_2\in \mathbb{D}$ sodass $f(x_1)=f(x_2)$ weil nicht injektiv.
• Aber oBdA $x_1<x_2⟹f(x_1)<f(x_2)$ was ein Widerspruch ist.

Gerade / ungerade Funktionen

Eine Funktion $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ist

• gerade falls gilt $\forall x\in \mathbb{R}f(-x)=f(x)$
• ungerade falls gilt $\forall x\in \mathbb{R}f(-x)=-f(x)$

Beispiel:

• $x^3$ (ungerade Potenzen) sind zum Beispiel ungerade, oder $\sin (x)$
• $\cos (x)$ oder gerade Potenzen

Konvex / Konkav

Der Graph einer Funktion heißt linksgekrümmt (Konvex) falls der Graph eine Linkskurve vollführt.
Der Graph einer Funktion heißt rechtsgekrümmt (Konkav) falls der Graph eine Rechtskurve vollführt.

Beachte, es gilt ebenso die Sekantenregel. Für jede Sekante im Intervall muss gelten, dass alle Punkte der Funktion über (konkav) oder unter (konvex) der Sekante sind.

5.2 Grenzwerte

4.16 Grenzwert

Es sei $f:\mathbb{D}(f)\to \mathbb{R}$, es sei $x_0\in \mathbb{R}$ und es gelte

$$\mathbb{D}(f)\cap (x_0-\delta ,x_0+\delta )\ne \varnothing \forall \delta >0.$$

Dann ist $L\in \mathbb{R}$ der Grenzwert/Limes von $f(x)$ an der Stelle $x_0$, falls gilt

$$\forall \epsilon >0\exists \delta >0\text{ so dass}x\in \mathbb{D}(f)\cap (x_0-\delta ,x_0+\delta )\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$$

Eindeutigkeit

Der Grenzwert $L$ einer Funktion ist eindeutig bestimmt.

Beachte, dass die Funktion nicht unbedingt an der Stelle $x_0$ des Grenzwerts definiert sein muss (siehe Sprungstelle, Definitionslücke).

Wir können auch $x_0$ ausschließen, in dem wir den Grenzwert anders definieren:

$$\begin{array}{r}\forall ϵ>0\exists \delta >0\text{ so dass fu¨r alle }x\in \mathbb{D}(f)\\ 0<|x-x_0|<\delta ⟹|f(x)-L|<ϵ\end{array}$$

Da gilt $0<|x-x_0|$ kann $x$ nicht den Wert $x_0$ annehmen.

Grenzwert im Image

Darf $x_0$ eingesetzt werden, so muss der Funktionswert bei $x_0$ den Grenzwert annehmen $f(x_0)=L$.
Darf es nicht eingesetzt werden, so können wir a priori keine Aussage über den Funktionswert an $x_0$ machen.

Nur weil der Grenzwert existiert, heißt nicht, dass $f$ an der Stelle $x_0$ definiert ist. Wenn er aber definiert ist, muss er ident sein.

Beispiel:

1. Fall 1: Definitionslücke
   • Der Grenzwert an der Stelle $x=1$ ist $L=2$ auch wenn die Funktion eine Definitionslücke hat.

• Dies gilt, egal von welcher Seite wir uns nähern.

$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=2=\underset{\begin{array}{c}x\ge x_0\\ x\to x_0\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x\le x_0\\ x\to x_0\end{array}}{\lim }f(x)$$

 - Wir Können diesen "Fehler beheben" in dem wir an der Stelle $x = 1$  definieren $f(x) = 2$
	 - Dies nennt man auch *stetige Fortsetzung*
	 - die Lücke bei $x = 1$ heißt auch *hebbare Definitionslücke*
	 

2. Fall 2: Sprungstelle
- Die Sprungstelle macht es unmöglich, dass ein Grenzwert an der Stelle existiert. Hierfür müssen wir einseite Grenzwerte definieren.

3. Fall 3: Unstetigkeitsstelle
   • Wir haben erneut die Sprungstelle an $x=1$.
   • Wenn wir $h(x)$ einschränken auf $h{\mid }_{D^{\prime }}:\mathbb{D}(h)\setminus \{x=1\}\to \mathbb{R}$ dann gilt das $\lim h{\mid }_{D^{\prime }}=1=L$.
   • Jedoch existiert der Grenzwert nach oberer Definition nicht.
   • Wir können wie vorher wieder $\overline{h}=\{\begin{array}{ll}h(x),& x\ne 1\\ L=1,& x=1\end{array}$ definieren und die Funktion stetig machen (hebbare Unstetigkeistsstelle).

5.2.1 Einseitige Grenzwerte

Wie die Beispiele klar machen, ist es unter Umständen schlau die Definition etwas flexibler zu machen.

Einseitige Grenzwerte

Es gelte $\mathbb{D}(f)\cap [x_0,x_0+\delta )\ne \varnothing \forall \delta >0$. Falls gilt

$$\forall \epsilon >0\exists \delta >0\text{ so dass }x\in \mathbb{D}(f)\cap [x_0,x_0+\delta )\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$$

hat $f$ in $x_0$ den rechtsseitigen Grenzwert $L$, d.h.

$$\underset{\begin{array}{c}x\ge x_0\\ x\to x_0\end{array}}{\lim }f(x)=L$$

dies geht auch linksseitig, wir schreiben dann ${\lim }_{\begin{array}{c}x<x_0\\ x\to x_0\end{array}}f(x)=L$.

Beachte, auch hier kann man entweder die Stelle $x_0$ einschließen oder nicht. Falls ja, gilt auch hier $f(x_0)=L$. Falls nein muss man das Interval $(x_0,x_0+\delta )$ definieren.

Dann kann man auch schreiben

$$\underset{\begin{array}{c}x<x_0\\ x\to x0\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{x\nearrow x_0}{\lim }$$

5.2.2 Grenzwerte im Unendlichen

4.19 Grenzwerte im Unendlichen

Falls gilt

$$\forall ϵ>0\exists M>0\text{s.d. }\forall x\in X(x>M⟹|f(x)-L|<ϵ)$$

hat $f$ für $x$ gegen unendlich den Grenzwert L, ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=L$.
Das gleiche gilt für $-\infty$ wenn $x<-M⟹|f(x)-L|<ϵ$.

Hier gehen wir aus, dass ab einem Punkt $M$ das Intervall $(M,\pm \infty )$ im Definitionsbereich ist.

5.2.3 Uneigentliche Grenzwerte

Improper Limits in English.

4.20 Uneigentliche Grenzwerte

Falls gilt

$$\forall N>0\exists \delta >0\text{ s.d. }\forall x\in C(0<|x-c|<\delta ⟹f(x)>N)$$

hat $f$ in $c$ den uneigentlichen Grenzwert $\infty$ d.h. ${\lim }_{x\to c}f(x)=\infty$.
Das gleiche kann auch $f(x)<-N$ für $-\infty$ gelten.

Beachte, dass Asymptoten direkt mit (bestimmten) uneigentlichen Limits zusammenhängen.

• vertikale Asymptote → Funktionswert gegen $\infty$ für $x\to c\in \mathbb{R}$.
• Horizontale Asymptote → Funktionswert gegen $c\in \mathbb{R}$ aber $x\to \infty$.

Beispiele:

• ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=\infty$ ist ein uneigentlicher Grenzwert

$$\underset{\begin{array}{c}x\le 0\\ x\to 0\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x<0\\ x\to 0\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x\ge 0\\ x\to 0\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x>0\\ x\to 0\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$$

Ein uneigentlicher Grenzwert ist eine vertikale Asymptote. Ein unendlicher Grenzwert eine horizontale.

5.2.4 Properties

Teilfolgen Konvergenz

Es sei $f:\mathbb{D}(f)\to \mathbb{R}$. Dann gilt

$$\underset{x\to x_o}{\lim }f(x)=L$$

genau dann, wenn für jede konvergente Folge $(x_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ welche gegen $x_0$ konvergiert gilt

$$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=L$$

4.21

Wir nehmen an, es gelte ${\lim }_{x\to c}f(x)=K(\ne \pm \infty )$, ${\lim }_{x\to c}g(x)=L(\ne \pm \infty )$ und $A$ sei eine beliebige feste Zahl. Dann gilt:

1. ${\lim }_{x\to c}(f(x)+g(x))=K+L$
2. ${\lim }_{x\to c}(f(x)-g(x))=K-L$
3. ${\lim }_{x\to c}(f(x)\cdot g(x))=K\cdot L$
4. ${\lim }_{x\to c}(A\cdot f(x))=A\cdot K$
5. Falls $L\ne 0$, haben wir ${\lim }_{x\to c}(f(x)/g(x))=K/L$

Note the conditions on $K,L$ not to be infinite.

5.3 Stetigkeit

Intuitiv:

• $f((x_0-\delta ,x_0+\delta ))\subset (f(x_0)-\epsilon ,f(x_0)+\epsilon )$. Das Bild des Intervalls $(x_0-\delta ,x_0+\delta )$, der $\delta$-Umgebung von $x_0$, unter der Funktion $f$ ist in dem Intervall $(f(x_0)-\epsilon ,f(x_0)+\epsilon )$ enthalten, der $\epsilon$-Umgebung von $f(x_0)$.
• Der Funktionswert $f(x)$ unterscheidet sich beliebig wenig ($\epsilon$) von $f(x_0)$, wenn man sich der Stelle $x_0$ genügend nähert.