5. Funktionen

5.1 Grundlagen

Funktion

Eine Funktion $f:D\to R$ hat einen Definitionsbereich $\text{domain}(f)=D$ und einen Wertebereich $\text{range/image}(f)=R$.
Der Input heißt unabhängige Variable (Argument) und der Output abhängige Variable.

Komposition

Sei $f:X\to Y$ und $g:Y\to Z$.

$$g\circ f:X\to Z\text{ mit }(g\circ f)(x)=g(f(x))$$

$f$ ist die innere und $g$ die äußere Funktion.

4.6 Einschränkung / Restriktion

Es sei $f:\mathbb{D}(f)\to \mathbb{R}$ mit $\mathbb{D}(f)\ne \varnothing$ und es sei weiters $D^{\prime }\subset \mathcal{D}(f)$.
Dann kann man die Einschränkung/Restriktion von $f$ auf $D^{\prime }$ betrachten, die Funktion

$$f{\mid }_{D^{\prime }}:D^{\prime }\to \mathbb{R}\text{ mit }f{\mid }_{D^{\prime }}(x)=f(x)\forall x\in D^{\prime }$$

Man beachte, dass $f$ und $f{\mid }_{D^{\prime }}$ a priori zwei verschiedene Funktionen sind.

Beispiel $\overline{f}:{\mathbb{R}}_0^{+}\to {\mathbb{R}}_0^{+}$ $f(x)=x^2$ ist bijektiv.

4.2 Beschränkt

Es sei $f:\mathcal{D}(f)\to \mathcal{R}$ mit $\mathcal{D}(f)\ne \varnothing$. Dann heißt

1. $f$ nach oben beschränkt, falls $M\in \mathbb{R}$ existiert mit $f(x)\le M$ $\forall x\in \mathbb{D}(f)$.
2. $f$ nach unten beschränkt, falls $M\in \mathbb{R}$ existiert mit $f(x)\ge M$ $\forall x\in \mathbb{D}(f)$.
3. $f$ beschränkt, falls $M\in \mathbb{R}$ existiert mit $|f(x)|\le M$ $\forall x\in \mathbb{D}(f)$.

5.1.1 Spezielle Funktionen

4.8 Identität

Es sei $X\ne \varnothing$ eine beliebige Menge.
Dann ist die Identitätsfunktion ${\text{id}}_X$ definiert als

$${\text{id}}_X(x)=x\forall x\in X$$

4.8 Umkehrfunktion

Falls eine Abbildung $f:X\to Y$ bijektiv ist, gibt es eine eindeutige Funktion $g:Y\to X$ mit der Eigenschaft

$$g\circ f={\text{id}}_X\text{ und }f\circ g={\text{id}}_Y$$

Diese Funktion nennt man Inverse (Umkehrfunktion) und wird mit $f^{-1}$ bezeichnet.

5.1.2 Properties

Monoton Wachsend / Fallend

Wir betrachten eine Funktion $f:X=\mathbb{D}(f)\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Diese Funktion nennen wir

• monoton wachsend, falls gilt:

$$\forall x_1,x_2\in X(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2))$$

• monoton fallend, falls gilt:

$$\forall x_1,x_2\in X(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2))$$

Streng Monton

Eine Funktion ist streng monoton wachsend / fallend falls die Ungleichung mit $>$ (oder $<$) gilt.

4.12 Monoton $⟹$ injektiv

Jede streng monotone Funktion ist injektiv.

Proof: Nehme an wir haben eine streng monotone Funktion $f$ die nicht injektiv ist.

• Dann gilt $\exists x_1,x_2\in \mathbb{D}$ sodass $f(x_1)=f(x_2)$ weil nicht injektiv.
• Aber oBdA $x_1<x_2⟹f(x_1)<f(x_2)$ was ein Widerspruch ist.

Gerade / ungerade Funktionen

Eine Funktion $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ist

• gerade falls gilt $\forall x\in \mathbb{R}f(-x)=f(x)$
• ungerade falls gilt $\forall x\in \mathbb{R}f(-x)=-f(x)$

Beispiel:

• $x^3$ (ungerade Potenzen) sind zum Beispiel ungerade, oder $\sin (x)$
• $\cos (x)$ oder gerade Potenzen

Konvex / Konkav

Der Graph einer Funktion heißt linksgekrümmt (Konvex) falls der Graph eine Linkskurve vollführt.
Der Graph einer Funktion heißt rechtsgekrümmt (Konkav) falls der Graph eine Rechtskurve vollführt.

Beachte, es gilt ebenso die Sekantenregel. Für jede Sekante im Intervall muss gelten, dass alle Punkte der Funktion über (konkav) oder unter (konvex) der Sekante sind.

5.2 Grenzwerte

4.16 Grenzwert

Es sei $f:\mathbb{D}(f)\to \mathbb{R}$, es sei $x_0\in \mathbb{R}$ und es gelte

$$\mathbb{D}(f)\cap (x_0-\delta ,x_0+\delta )\ne \varnothing \forall \delta >0.$$

Dann ist $L\in \mathbb{R}$ der Grenzwert/Limes von $f(x)$ an der Stelle $x_0$, falls gilt

$$\forall \epsilon >0\exists \delta >0\text{ so dass}x\in \mathbb{D}(f)\cap (x_0-\delta ,x_0+\delta )\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$$

Eindeutigkeit

Der Grenzwert $L$ einer Funktion ist eindeutig bestimmt.

Beachte, dass die Funktion nicht unbedingt an der Stelle $x_0$ des Grenzwerts definiert sein muss (siehe Sprungstelle, Definitionslücke) → wir können auch nach dem Grenzwert von einem Punkt $x\notin D$ für den $f$ nicht mal definiert ist fragen.

Grenzwert im Image

Darf $x_0$ eingesetzt werden, so muss der Funktionswert bei $x_0$ den Grenzwert annehmen $f(x_0)=L$.
Darf es nicht eingesetzt werden, so können wir a priori keine Aussage über den Funktionswert an $x_0$ machen.

Nur weil der Grenzwert existiert, heißt nicht, dass $f$ an der Stelle $x_0$ definiert ist. Wenn er aber definiert ist, muss er ident sein.

Alternative Definition

Wir können auch $x_0$ ausschließen, in dem wir den Grenzwert anders definieren:

$$\begin{array}{r}\forall ϵ>0\exists \delta >0\text{ so dass fu¨r alle }x\in \mathbb{D}(f)\\ 0<|x-x_0|<\delta ⟹|f(x)-L|<ϵ\end{array}$$

Da gilt $0<|x-x_0|$ kann $x$ nicht den Wert $x_0$ annehmen.

Imamoglu Beispiel dazu:

Beachte, der Grenzwert ist hier leicht anders definiert. Wir schauen hier nur $x\in D$ an, aber $x\ne x_0$, welchen wir ausschließen. Wir schauen nur die “Akkumulation” um $x_0$ an!

Zusammenhang mit Stetigkeit

Stetigkeit ist stärker als bloße Existenz des Grenzwerts. Es gilt:

$$f\text{ stetig in }{x}_0⟺\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A\text{ existiert und }A=f(x_0)$$

Beispiel:
Falls $f$ stetig in $x_0$ ist, dann existiert ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ automatisch.

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& \text{falls }x\ne 2\\ 3& \text{falls }x=2\end{array}$$

Hier ist ${\lim }_{x\to 2}f(x)=2$, aber $f(2)=3\ne 2$. Der Grenzwert existiert, $f$ ist bei $x_0=2$ definiert, aber $f$ ist dort nicht stetig.

WARNING

Die Umkehrung gilt nicht — der Grenzwert kann existieren, $f$ kann bei $x_0$ definiert sein, und $f$ ist trotzdem nicht stetig (siehe Beispiel oben).

5.2.0 Typen von Grenzwert-Sonderfällen

1. Fall 1: Definitionslücke
   • Der Grenzwert an der Stelle $x=1$ ist $L=2$ auch wenn die Funktion eine Definitionslücke hat.

• Dies gilt, egal von welcher Seite wir uns nähern.

$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=2=\underset{\begin{array}{c}x\ge x_0\\ x\to x_0\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x\le x_0\\ x\to x_0\end{array}}{\lim }f(x)$$

 - Wir Können diesen "Fehler beheben" in dem wir an der Stelle $x = 1$  definieren $f(x) = 2$
	 - Dies nennt man auch *stetige Fortsetzung*
	 - die Lücke bei $x = 1$ heißt auch *hebbare Definitionslücke*
	 

2. Fall 2: Sprungstelle
- Die Sprungstelle macht es unmöglich, dass ein Grenzwert an der Stelle existiert. Hierfür müssen wir einseite Grenzwerte definieren.

3. Fall 3: Unstetigkeitsstelle
   • Wir haben erneut die Sprungstelle an $x=1$.
   • Wenn wir $h(x)$ einschränken auf $h{\mid }_{D^{\prime }}:\mathbb{D}(h)\setminus \{x=1\}\to \mathbb{R}$ dann gilt das $\lim h{\mid }_{D^{\prime }}=1=L$.
   • Jedoch existiert der Grenzwert nach oberer Definition nicht.
   • Wir können wie vorher wieder $\overline{h}=\{\begin{array}{ll}h(x),& x\ne 1\\ L=1,& x=1\end{array}$ definieren und die Funktion stetig machen (hebbare Unstetigkeistsstelle).

5.2.1 Einseitige Grenzwerte

Wie die Beispiele klar machen, ist es unter Umständen schlau die Definition etwas flexibler zu machen.

Einseitige Grenzwerte

Es gelte $\mathbb{D}(f)\cap [x_0,x_0+\delta )\ne \varnothing \forall \delta >0$. Falls gilt

$$\forall \epsilon >0\exists \delta >0\text{ so dass }x\in \mathbb{D}(f)\cap [x_0,x_0+\delta )\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$$

hat $f$ in $x_0$ den rechtsseitigen Grenzwert $L$, d.h.

$$\underset{\begin{array}{c}x\ge x_0\\ x\to x_0\end{array}}{\lim }f(x)=L$$

dies geht auch linksseitig, wir schreiben dann ${\lim }_{\begin{array}{c}x<x_0\\ x\to x_0\end{array}}f(x)=L$.

LEMMA

Wenn der Grenzwert existiert, so existieren auch links- und rechtsseitige Grenzwerte und haben den gleichen Grenzwert.

Beachte, auch hier kann man entweder die Stelle $x_0$ einschließen oder nicht. Falls ja, gilt auch hier $f(x_0)=L$. Falls nein muss man das Interval $(x_0,x_0+\delta )$ definieren.

Dann kann man auch schreiben

$$\underset{\begin{array}{c}x<x_0\\ x\to x0\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{x\nearrow x_0}{\lim }$$

5.2.2 Grenzwerte im Unendlichen

4.19 Grenzwerte im Unendlichen

Falls gilt

$$\forall ϵ>0\exists M>0\text{s.d. }\forall x\in X(x>M⟹|f(x)-L|<ϵ)$$

hat $f$ für $x$ gegen unendlich den Grenzwert L, ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=L$.
Das gleiche gilt für $-\infty$ wenn $x<-M⟹|f(x)-L|<ϵ$.

Hier gehen wir aus, dass ab einem Punkt $M$ das Intervall $(M,\pm \infty )$ im Definitionsbereich ist.

5.2.3 Uneigentliche Grenzwerte

Improper Limits in English.

4.20 Uneigentliche Grenzwerte

Falls gilt

$$\forall N>0\exists \delta >0\text{ s.d. }\forall x\in C(0<|x-c|<\delta ⟹f(x)>N)$$

hat $f$ in $c$ den uneigentlichen Grenzwert $\infty$ d.h. ${\lim }_{x\to c}f(x)=\infty$.
Das gleiche kann auch $f(x)<-N$ für $-\infty$ gelten.

Beachte, dass Asymptoten direkt mit (bestimmten) uneigentlichen Limits zusammenhängen.

• vertikale Asymptote → Funktionswert gegen $\infty$ für $x\to c\in \mathbb{R}$.
• Horizontale Asymptote → Funktionswert gegen $c\in \mathbb{R}$ aber $x\to \infty$.

Beispiele:

• ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=\infty$ ist ein uneigentlicher Grenzwert

$$\underset{\begin{array}{c}x\le 0\\ x\to 0\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x<0\\ x\to 0\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x\ge 0\\ x\to 0\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x>0\\ x\to 0\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$$

Ein uneigentlicher Grenzwert ist eine vertikale Asymptote. Ein unendlicher Grenzwert eine horizontale.

5.2.4 Properties

Teilfolgen Konvergenz

Es sei $f:\mathbb{D}(f)\to \mathbb{R}$. Dann gilt

$$\underset{x\to x_o}{\lim }f(x)=L$$

genau dann, wenn für jede konvergente Folge $(x_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ welche gegen $x_0$ konvergiert gilt

$$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=L$$

4.21

Wir nehmen an, es gelte ${\lim }_{x\to c}f(x)=K(\ne \pm \infty )$, ${\lim }_{x\to c}g(x)=L(\ne \pm \infty )$ und $A$ sei eine beliebige feste Zahl. Dann gilt:

1. ${\lim }_{x\to c}(f(x)+g(x))=K+L$
2. ${\lim }_{x\to c}(f(x)-g(x))=K-L$
3. ${\lim }_{x\to c}(f(x)\cdot g(x))=K\cdot L$
4. ${\lim }_{x\to c}(A\cdot f(x))=A\cdot K$
5. Falls $L\ne 0$, haben wir ${\lim }_{x\to c}(f(x)/g(x))=K/L$

Note the conditions on $K,L$ not to be infinite.

Sandwhich-Satz

Falls gilt $g_1(x)\le f(x)\le g_2(x)$ und gilt

$$\underset{x\to x_0}{\lim }{g}_1(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }{g}_2(x)=A$$

dann existiert auch ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$.

Summary

5.2 Bonus

Häufungspunkt eines Intervalls $D$

$x_0\in \mathbb{R}$ ist ein Häufungspunkt eines Intervalls $D$ falls gilt

$$\forall ϵ>0((x_0-ϵ,x_0+ϵ)\setminus \{x_0\})\cap D\ne \varnothing$$

Jedes Intervall um $x_0$ hat mindestens einen Punkt, der nicht $x_0$ ist.

5.3 Stetigkeit

4.22 Stetigkeit

Eine funktion $f:\mathbb{D}\to \mathbb{R}$ heißt an der Stelle $x_0$ stetig falls gilt

$$\forall ϵ>0\exists \delta >0\text{ s.d. }\forall x\in \mathbb{D}\left(|x-x_0|<\delta ⟹|f(x)-f(x_0)|<ϵ\right)$$

Die Funktion nennen wir stetig falls sie in jedem Punkt des Definitionsbereichs stetig ist.

Note, falls $f$ an der Stelle $x_0$ nicht definiert ist, macht es keinen Sinn die Frage nach Stetigkeit an der Stelle zu stellen.

Stetig aber nicht ableitbar

Die Funktion $f(x)=|x|$ ist an jeder Stelle stetig, insbesondere auch an $x=0$, jedoch ist sie an dem Punkt $x=0$ nicht ableitbar.

Intuitiv:

• $f((x_0-\delta ,x_0+\delta ))\subset (f(x_0)-\epsilon ,f(x_0)+\epsilon )$. Das Bild des Intervalls $(x_0-\delta ,x_0+\delta )$, der $\delta$-Umgebung von $x_0$, unter der Funktion $f$ ist in dem Intervall $(f(x_0)-\epsilon ,f(x_0)+\epsilon )$ enthalten, der $\epsilon$-Umgebung von $f(x_0)$.
• Der Funktionswert $f(x)$ unterscheidet sich beliebig wenig ($\epsilon$) von $f(x_0)$, wenn man sich der Stelle $x_0$ genügend nähert.

4.24 Rechts/Linksstetig

Es sei $f:\mathbb{D}\to \mathbb{R}$ und es sei $x_0\in \mathbb{D}$. Falls gilt

$$\underset{\begin{array}{c}x\ge x_0\end{array}x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$$

nennen wir den Punkt $x_0$ rechtsstetig (Linksstetigkeit ist analog definiert).

Wir können die Stetigkeit ebenso gut durch Folgen beschreiben:

4.25 Charakterisierung der Stetigkeit durch Folgenstetigkeit

Es sei $f:D\subset \mathbb{D}(f)\subset \mathbb{R}$ eine Funktion und $x_0\in D$. Dann ist $f$ an der Stelle $x_0$ genau dann stetig, wenn für jede Folge $(x_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ mit $x_n\to x_0$ die Folge $(f(x_n){)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ gegen $f(x_0)$ konvergiert.

Intuitiv, der Grenzwert von $f$ in $x\to x_0$ muss das gleiche ergeben wie $f(x_0)$ damit $f$ stetig ist.

Man nennt dies auch die Folgenstetigkeit. Intuitiv besagt sie, dass wenn $x_n\to x_0$ konvergiert, dann auch die Funktionswerte $f(x_n)\to f(x_0)$ konvergieren müssen.

Proof Idea:

• $⟹$
  • Assume $f$ continuous in $x_0$, i.e. that $\forall ϵ>0$, $\exists \delta >0$ s.t. $|x-x_0|<\delta$ implies $|f(x)-f(x_0)|<ϵ$.
  • We fix $ϵ>0$.
  • Now let $(x_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ be a sequence converging to $x_0$, i.e. $\forall \delta >0$, $\exists N\in {\mathbb{N}}_0$ s.t. $\forall n\ge N|x_n-x_0|<\delta$
  • By definition, since $f$ is continuous in $x_0$, $\forall \delta >0\forall n\ge N|x_n-x_0|<\delta$ $⟹$ $|f(x_n)-f(x_0)|<ϵ\forall n\ge N$
  • thus $(f(x_n){)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ converges towards $f(x_0)$.
• $⟸$ we show by indirect proof.
  • Assume that $f$ is not continuous in $x_0$
    • $\exists ϵ>0$ s.t. $\forall \delta >0$, $\exists x\in \mathbb{D}$ s.t. $|x-x_0|<\delta$ and $|f(x)-f(x_0)|\ge ϵ$
  • We set ${\delta }_n=1/n$.
  • $\forall n\in \mathbb{N}$, we construct a sequence. By assumption there always is a $x_n\in D$ such that $|x_n-x_0|<1/n$ and at the same time $|f(x_n)-f(x_0)|\ge ϵ$.
  • Then the sequence $x_n$ converges towards $x_0$
  • And $(f(x_n))$ does not converge towards $f(x_0)$, thus concluding our indirect proof.

Die folgende Definition, macht es einfacher die Stetigkeit zu beweisen, da wir nicht zuerst eine Folge definieren müssen.

Folgenstetigkeit direkt

Diese Definition erlaubt es, ohne eine Folge zu argumentieren.
Wenn gilt ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ ist $f$ in $x_0$ stetig.

Es existiert noch eine weitere Art Stetigkeit zu beschreiben (topologisch).

Stetigkeit alternativ

Eine Funktion $f:D\subset \mathbb{D}(f)\to \mathbb{R}$ ist genau dann stetig, wenn alle Urbilder offener Menge $f^{-1}(U)$ wobei $U$ offen ist, auch wieder offen sind.

Beispiel: $f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x\le 0\\ x+1,& x>0\end{array}$ .
Dann gilt für $U=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ dass das Urbild $f^{-1}(U)=M:=\left(-\frac{1}{2},0\right]$ ist. Also ist $f$ nicht stetig.

4.26 Rechenregeln Stetigkeit

Wir gehen von zwei stetigen Funktionen $f,g:D\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ aus. Dann gilt:

1. $f+g$ ist stetig
2. $f-g$ ist stetig
3. $c\cdot f$, respektive $c\cdot g$, ist für jede beliebige Konstante $c\in \mathbb{R}$ stetig
4. $f\cdot g$ ist stetig
5. $\frac{f}{g}$ ist stetig, sofern $g\ne 0$
6. Verknüpfung stetiger Funktionen wiederum stetig.

Die Regeln 1-5 folgen direkt aus der Folgenstetigkeit und den entsprechenden Regeln für Grenzwerte.
Proof 1 ${\lim }_{n\to \infty }(f+g)(a_n)$ $={\lim }_{n\to \infty }(f(a_n)+g(a_n))$ $={\lim }_{n\to \infty }f(a_n)+{\lim }_{n\to \infty }g(a_n)$ $=f(x_0)+g(x_0)=(f+g)(x_0)$ by FOlgenstetigkeit.

Regel 6: Stetigkeit von Verknüpfung: Genauer: Es seien $f:I\subset \mathbb{R}\to image(f)$ und $g:image(f)\to image(g)$ zwei stetige Funktionen.
Dann ist die Verknüpfung

$$g(f(x))=g\circ f(x)$$

ebenfalls stetig und es gilt

$$\underset{x\to x_0}{\lim }g(f(x))=g\left(\underset{x\to x_0}{\lim }f(x_0)\right)$$

Proof 6:

• $g$ ist stetig, also $\forall ϵ>0$ $\exists \eta >0$ sodass gilt $|z-y|=|f(x)-f(x_0)|<\eta ⟹|g(z)-g(y)|=|g(f(x))|-g(f(x_0))|<ϵ$.
• Da $f$ stetig ist, gibt es für $\eta >0$ ein $\delta >0$ sodass $|x-x_0|<\delta ⟹|f(x)-f(x_0)|=|z-y|<\eta$

Da $g\circ f$ stetig ist gilt ${\lim }_{x\to x_0}g(f(x))=g(f(x_0))$ und da $f$ und $g$ stetig sind gilt $g({\lim }_{x\to x_0}f(x))=g(f(x_0))$ thus ${\lim }_{x\to x_0}g(f(x))=g({\lim }_{x\to x_0}f(x))$.

Beispiel: Für ${\lim }_{n\to \infty }{n}^{2/n}$ nehmen wir $f(n)=n^{1/n}$ und $g(z)=z^2$. Da beide stetig sind, gilt dass $g(f(n))$ stetig ist und deswegen

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{2/n}=\underset{n\to \infty }{\lim }(n^{1/n}{)}^2={\left(\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{1/n}\right)}^2=1^2=1$$

Imamoglu Extra Stetige Funktionen

Für $f$ und $g$ stetig gilt, dass:

1. $|f|$ stetig ist
2. $\max \{f,g\}$ stetig ist
3. $\min \{f,g\}$ stetig ist

4.28 Stetigkeit der Umkehrfunktion

Es sei $I$ ein Intervall und $f:I\to J$ eine stetige und bijektive Funktion. Dann ist:

• $J$ ein Intervall
• die Umkehrfunktion $f^{-1}:J\to I$ ist stetig.

Imamoglu states this slightly differently, showing that strong monotonicity holds for the inverse as well.

4.28 b) Imamoglu = Umkehrabbildungssatz

Es sei $I$ ein Intervall und $f:I\to J$ eine stetige und bijektive Funktion, die streng monoton wachsend (fallend) ist. Dann ist:

• $J$ ein Intervall
• die Umkehrfunktion $f^{-1}:J\to I$ ist stetig
• $f^{-1}$ ist streng monoton wachsend (fallend)

Proof:

1. $J$ ist ein Interval
   1. $J$ ist ein Interval, da $y_1,y_2\in J$ mit $y_1<y_2$ impliziert, dass $x_1,x_2\in I$ sodass $f(x_1)=y_1$ und $f(x_2)=y_2$.
   2. WLOG $x_1<x_2$ gilt $[x_1,x_2]\subseteq I$
   3. Für $c\in (y_1,y_2)$ WLOG $f(x_1)<c<f(x_2)$
   4. IVT sagt es existiert $x_c\in (x_1,x_2)\subseteq I$ sodass $f(x_c)=c$
   5. Da $c\in (y_1,y_2)$ arbiträr war, enthält $J$ alle Elemente zwischen jeden zwei Elementen in $J$ → $J$ ist ein Interval
2. Bijektiv
   1. Streng monoton ⇒ injektiv. Da $J=f(I)$, ist $f$ per Definition surjektiv.
3. Strenge Monotonie der Inversen
   1. Nehme WLOG an $f$ ist strikt monoton wachsend.
   2. $y_1,y_2\in J$, $y_1<y_2$ und $x_1=f^{-1}(y_1),x_2=f^{-1}(y_2)$
   3. Wenn $x_1\ge x_2$ da $f$ streng aufsteigend gilt $f(x_1)\ge f(x_2)$, i.e. $y_1\ge y_2$ → Contradiction
      1. Daher muss gelten $x_1<x_2$ → $f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2)$
4. Stetigkeit der Inversen (durch Folgenstetigkeit)
   1. Sei $(v_n)$ eine Folge in $J$ die gegen $v\in J$ konvergiert. Wir wollen zeigen dass ${\lim }_{n\to \infty }{f}^{-1}(v_n)=f^{-1}(v)$
      1. Sei $x_n=f^{-1}(v_n)$ und $x=f^{-1}(v)$. Wir müssen also zeigen, dass ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x$.
   2. Nehme für Widerspruch an, $(x_n)$ konvergiert nicht zu $x$.
   3. Dann gibt es ein $ϵ>0$, sodass für unendlich $n$, $x_n\notin (x-ϵ,x+ϵ)$.
      1. WLOG für unendlich $n$, $x_n\ge x+ϵ$.
      2. Da $f$ streng monoton wächst, gilt $v_n=f(x_n)\ge f(x+ϵ)>f(x)=v$
      3. Dann gilt für unendlich viele $n$, $v_n\ge f(x+ϵ)$
      4. Widerspruch gegen $v_n\to v=f(x)<f(x+ϵ)$
      5. Daher muss $(x_n)$ gegen $x$ konvergieren und $f^{-1}(v_n)\to f^{-1}(v)$ und deswegen ist $f^{-1}$ stetig.

Beispiel 1. Expnentialfunktion

Exponentialfunktion

$$\exp (z)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{z^k}{k!}$$

oder auch

$$\exp (z)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{z}{n}\right)}^n$$

Exponentialfunktion Properties

Die Funktion $\exp :\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{+}$ ist bijektiv, streng monoton wachsend und stetig. Außerdem gilt:

1. $\exp (0)=1$
2. $\exp (-x)=\exp (x{)}^{-1}$
3. $\exp (x+y)=\exp (x)\cdot \exp (y)$
4. $\exp (x)\ge 1+x$ for all $x\in \mathbb{R}$

Proofs:

1. $image(\exp (\mathbb{R}))\subseteq (0,\infty )$
   1. Since $x\ge 0$ all terms in the series are non-negative. And the first two terms are $1+x$, thus for $x\ge 0$, $\exp (x)\ge 1+x\ge 1$
   2. $1=\exp (0)=\exp (x-x)=\exp (x)\cdot \exp (-x)$ thus $\exp (-x)=\frac{1}{\exp (x)}$. As $\exp (x)>0$ for $x\ge 0$, $\exp (-x)>0$ for $x\ge 0$
2. Strict monotonically increasing
   1. For $y\le z$ consider $\exp (z)=\exp (y+(z-y))=\exp (y)\exp (z-y)$. Since $z-y\ge 0$, we know $\exp (z-y)\ge 1$.
   2. And since $\exp (y)>0$ we have: $\exp (z)=\exp (y)\exp (z-y)\ge \exp (y)$
   3. If $y<z$ then $z-y>0$ so $\exp (z-y)>1$ and thus $\exp (z)>\exp (y)$
3. stetig in $0$
   1. Sei $x_n\to 0$ eine Folge die nach $0$ konvergiert. Es gilt $\exp (x)={\sum }_{i=0}^n\frac{x^n}{n!}$
   2. Dann gilt $|\exp (x)-1|=|{\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}-1|=|{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n!}|$ (weil $x^0/0!=1$ )
   3. $\le |x|{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{|x{|}^{n-1}}{n!}$
   4. $\le {\sum }_{n=1}\frac{1}{n!}$ weil $|x{|}^{n-1}\le 1$ für $|x|<1$, und da $x_n\to 0$ gibt es ein $N$ ab dem $|x_n|<1$
   5. $\le e-1$
   6. Es gilt also $|\exp (x)-1|\le |x|(e-1)$
   7. Da $x_n\to 0$, gilt $0\le |\exp (x_n)-1|\le |x_n|(e-1)$ und mit dem Sandwhichtheorem heißt dass
   8. $|\exp (x_n)-1|\to 0$ $⟹$ $\exp (x_n)\to 1=\exp (0)$

Nach Theorem 4.28 existiert eine Umkehrfunktion die ebenfalls stetig, bijektiv, strikt monoton wachsend ist. Wir nennen diese $\ln$.

Es gilt $\ln (a\cdot b)=\ln (a)+\ln (b)$. Proof:

1. $\exp (\ln (a)+\ln (b))=\exp (\ln (a))\cdot \exp (\ln (b))=a\cdot b$
2. $\ln (\exp (\ln (a)+\ln (b)))=\ln (a\cdot b)$
3. $\ln (a)+\ln (b)=\ln (a\cdot b)$

4.44

Der natürliche Logarithmus ${\mathbb{R}}^{+}\to \mathbb{R}$ ist bijektiv, streng monoton wachsend und stetig.
Außerdem gilt:

1. $\ln (1)=0$
2. $\ln (x^{-1})=-\ln (x)$
3. $\ln (xy)=\ln (x)+\ln (y)$

Note, wir können jetzt allgemeine Potenzen $x^a$ auch mithilfe der Logarithmus und Exponentialfunktion definieren. Für $x>0$ und $a\in \mathbb{R}$ beliebig gilt dann:

$$x^a:=\exp (a\ln (x))$$

Insbesondere gilt $x^0=1$ $\forall x>0$ da $\exp (0)=1$.

Da $\exp$ stetig, streng monoton und bijektiv ist, ist es auch $x^a$.
Für $a<0$ ist die Funktion streng monoton fallend, für $a>0$, streng monoton wachsend.

1. $\ln (x^a)=a\ln (x)$ da $\ln (\exp (a\ln (x)))=a\ln (x)$
2. $x^a\cdot x^b=x^{a+b}$ da $\exp (a\ln (x))\cdot \exp (b\ln (x))=\exp (a\ln x+b\ln x)$ $=\exp ((a+b)\ln x)=x^{a+b}$
3. $(x^a{)}^b=x^{a\cdot b}$ in gleicher Weise.

5.3.1 IVT

4.29 Intermediate Value Theorem

Es sei $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ eine stetige Funktion und es sei $f(a)\le c\le f(b)$.
Dann gibt es ein $x\in [a,b]$ mit $f(x)=c$.

Spezialfall - Nullstellensatz von Bolzano

Es sei $f:I\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ eine stetige Funktion, un es seien $a,b\in I$ mit $f(a)<0$ und $f(b)>0$. Dann hat $f$ mindestens eine Nullstelle zwischen $a$ und $b$.

Proof: (of IVT)

1. WLOG $f(a)<f(b)$. Sei $f(a)\le c\le f(b$).
2. Wir definieren $X:=\{x\in [a,b]\mid f(x)\le c\}$
   1. Die Menge ist nicht leer da $a\in X$
   2. $X\subset [a,b]$, daher ist $X$ beschränkt.
3. Daher muss $x:=\sup (X)$ existieren
4. Wir zeigen dass gilt $f(x)=c$ (dank Stetigkeit von $f$)
   1. $\forall n\in {\mathbb{N}}_0$ gibt es ein $x_n\in X$ mit $x_n\in X\cap [x-2^{-n},x]$ und $f(x_n)\le c$
      1. dies gilt da sonst eine kleine obere Schranke existieren würde
   2. $\bar{x}-2^{-n}\le x_n\le \bar{x}$ und $2^{-n}\to 0$ mit Sandwhichlemma impliziert dass $x_n\to x$ für $n\to \infty$
   3. Da $f$ stetig ist, gilt ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=f(x)$
   4. Da $f(x_n)\le c$ folgt durch limes reinziehen (weil $f$ stetig) $f(x)\le c$
5. Setze $ϵ:=c-f(x)>0$.
   1. Da $f$ stetig in $x$ ist, existiert ein $\delta >0$, sodass für $y\in [a,b]$ mit $|y-x|<\delta$ gilt $|f(y)-f(x)|<ϵ$ (Def. Stetigkeit)
   2. Dann folgt $-ϵ<f(y)-f(x)<ϵ$ und dadurch $f(y)<f(x)+ϵ=f(x)+(c-f(x))=c$
   3. Dann gilt $f(y)\le c$, $⟹$ $y\in X$.
6. Dann gilt $(x-\delta ,x+\delta )\cap [a,b]\subset X$ und insbesondere $(x,x+\delta )\cap [a,b]\subset X$
   1. Da $x<b$ ($f(x)<c<f(b)$ per Annahme) enthält $(x,x+\delta )\cap [a,b]$ Punkte, die größer als $x$ sind und in $X$ liegen.
7. Widerspruch mit Def. von $x$ als Supremum von $X$.

Note, we can also prove this using “binary search” over $[a,b]$ to find the value $x_c$.

Fixpunkt

Für $f:[a,b]\to [a,b]$ stetig gibt es ein $x\in [a,b]$ sodass gilt $f(x)=x$

Proof: This is a classic proof, the technique of defining a new function, to use the IVT over $0$ is important!

• Sei $g(x)=f(x)-x$
• Dann gilt $g(a)=f(a)-a\ge 0$ da $f(a)\ge a$
• Dann gilt $g(b)=f(b)-b\le 0$ da $f(b)\le b$
• Laut IVT gibt es ein $x\in [a,b]$ sodass gilt $g(x)=0$ da $a<b$ und $g(a)>0>g(b)$. Wenn ($g(a)=0$ oder $g(b)=0$ dann wären wir fertig).
• Dann gilt $g(x)=0⟹f(x)-x=0$ thus $f(x)=x$.

5.3.2 Kompakte Intervalle, Min-Max Satz

4.30 Kompaktes Intervall

Ein beschränktes und abgeschlossenes Intervall nennt man kompakt.
i.e. $[a,b],a\le b$.

4.31 Folgenkompaktheit

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall, und es sei $(x_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ in $[a,b]$. Dann existiert eine Teilfolge $(x_{n_k}{)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ mit

$$\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{n_k}=x_0\text{ mit }{x}_0\in [a,b]$$

Man nennt die Existenz einer solchen Folge die Folgenkompaktheit.

Proof Idea Jede Folge im kompakten Intervall $[a,b]$ ist beschränkt, daher besitzt sie eine konvergente Teilfolge. Da gilt $a\le x_n\le b$ muss gelten $a\le x_0\le b$.

4.32 Min-Max Satz (Extreme Value Theorem)

Es sei $f:I\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ eine stetige Funktion und $I$ kompakt.
Dann ist $f$ beschränkt und $f$ nimmt sei Maximum und Minimum auf $I$ an, d.h. es gibt ein $x_{min}\in I$ und $x_{max}\in I$ mit der Eigenschaft

$$\forall x\in I:f(x_{min})\le f(x)\le f(x_{max})$$

Beispiel: Sei $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ mit $f(0)=1$ und $f(1)=0$. Wenn $f$ unbeschränkt ist, dann ist $f$ zumindest in einem Punkt $x_0\in [0,1]$ unstetig.
Dies folgt direkt aus dem Min-Max Satz, da jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall stetig ist.

5.3.3 Stetigkeit 2

4.33 Gleichmäßig stetig

Es sei $f:D\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Dann heißt $f$ gleichmäßig stetig falls

$$\forall ϵ>0\exists \delta >0\text{ s.d. }\forall x,y\in D\left(|x-y|<\delta ⟹|f(x)-f(y)|<ϵ\right)$$

Es gibt also für alle $ϵ$ ein $\delta$ welches für jedes $x,y$ auf der Kurve gilt, i.e. $\delta$ ändert sich nicht mit $x$, sondern hängt nur von $ϵ$ ab.

Für eine sehr schnell wachsende Funktion z.B. wird das $\delta$-Intervall immer kleiner, um die $ϵ$ Änderungen zu beschränken.

4.35

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ eine stetige Funktion. Dann ist $f$ gleichmäßig stetig.

Eine weitere, noch stärkere Stetigkeitsbedigung ist die sogenannte Lipschitz-Stetigkeit.

4.36 Lipschitz Stetig

Es sei $f:D\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Dann heißt $f$ Lipschitz stetig falls

$$\exists L\ge 0\text{ s.d. }\forall x,y\in D:|f(x)-f(y)|\le L|x-y|$$

5.3.4 Folgen von Funktionen

4.37 Punktweise Konvergenz

Es sei $D\subset \mathbb{R}$, $(f_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ eine Folge von Funktionen $f_n:D\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ und $f:D\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ eine weitere Funktion.
Dann konvergiert die Folge $(f_n)$ punktweise gegen $f$ falls für jedes $x\in D$ die reelle Folge $(f_n(x))$ gegen $f(x)$ konvergiert.
$f$ heißt dann auch punktweiser Grenzwert der Folge $(f_n)$.

Watch: https://www.youtube.com/watch?v=GsORKmBCLuI

Man sieht hier klar, obwohl alle $f_n$ stetig sind, muss die Grenzwertfunktion $f$ selber nicht stetig sein.

Even if all $(f_n)$ are continuous, the limit function $f$ must not be. To get rid of this, we introduce the notion of uniform convergence.

4.38 Gleichmäßige Konvergenz

Es sei $D\subset \mathbb{R}$, $(f_n)$ eine Folge von Funktionen und $f$ eine weitere Funktion.
Dann konvergiert die Folge $(f_n)$ gleichmäßig gegen $f$, falls für jedes $ϵ>0$ ein Index $N$ existiert, sodass für alle $n\ge N$ und für alle $x\in D$ gilt

$$|f_n(x)-f(x)|<ϵ$$

Für punktweise Konvergenz hängt $N$ von $ϵ$ und $x$ ab. Hier gilt ab dem gleichen $N$ für alle $x$, dass $|f_n(x)-f(x)|<ϵ$. Das heißt, dass ab $n\ge N$, alle Funktionen im “Epsilon-Schlauch” liegen müssen, auf dem ganzen Definitionsbereich.

LEMMA

Die gleichmäßige Konvergenz ist stärker als die punktweise Konvergenz.
$f_n\to f$ gleichmäßig $⟹$ $f_n\to f$ punktweise (aber nicht andersherum).

Man sieht klar, dass es keine Funktion gibt, die immer im “Epsilon-Schlauch” liegt, aber stetig ist. Es gibt immer ein $ϵ$ welches klein genug ist, um ein “Loch” zu haben, wenn $f$ nicht stetig ist.

4.39

Es sei $D\subset \mathbb{R}$ und $(f_n)$ eine Folge stetiger Funktionen, welche gleichmäßig gegen $f$ konvergiert. Dann ist $f$ stetig.

INFDEF

Falls ${\sup }_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|\to 0$ konvergiert, ist $f_n\to f$ gleichmäßig gegen $f$ konvergent.

Bespiel: Sei $f_n(x)=+1/n$ und $f(x)=x$.

1. ${\sup }_{x\in \mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|={\sup }_{x\in \mathbb{R}}|(x+1/n)-x|={\sup }_{x\in \mathbb{R}}|1/n|$
2. das konvergiert gegen $0$ mit $n\to \infty$.
3. Daher konvergiert $f_n$ gleichmäßig gegen $f_n$.

(Bonus) Taylor-Expansions

Complex Exponential

For $z\in \mathbb{C}$, the exponential function is defined by

$$\exp (z):=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{z^n}{n!}=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots$$

This series converges absolutely for all $z\in \mathbb{C}$, by the ratio test:

$$\left|\frac{z^{n+1}/(n+1)!}{z^n/n!}\right|=\frac{|z|}{n+1}\to 0$$

We can also define the trigonometric functions by their Taylor-expansions:

Cosine and Sine

For $z\in \mathbb{C}$, define

$$\cos (z):=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\cdots$$ $$\sin (z):=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\cdots$$

Both series converge absolutely for all $z\in \mathbb{C}$.

Euler's Formula

For all $z\in \mathbb{C}$,

$$\exp (iz)=\cos (z)+i\sin (z)$$

Proof We expand $\exp (iz)$ using the definition:

$$\exp (iz)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(iz{)}^n}{n!}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{i^n{z}^n}{n!}$$

We split this into even and odd powers of $n$. Recall that $i^{2k}=(-1{)}^k$ and $i^{2k+1}=(-1{)}^k\cdot i$:

$$\begin{array}{rl}\exp (iz)& =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{i^{2k}{z}^{2k}}{(2k)!}+\sum _{k=0}^{\infty }\frac{i^{2k+1}{z}^{2k+1}}{(2k+1)!}\\ & =\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\frac{z^{2k}}{(2k)!}+i\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}\\ & =\cos (z)+i\sin (z)\end{array}$$

The rearrangement is justified by absolute convergence.

Cosine is Even, Sine is Odd

For all $z\in \mathbb{C}$,

$$\cos (-z)=\cos (z)\text{and}\sin (-z)=-\sin (z)$$

Proof: follow directly from the power series definition!

LEMMA

From Euler’s formula and the parity properties:

$$\cos (z)=\frac{\exp (iz)+\exp (-iz)}{2}\sin (z)=\frac{\exp (iz)-\exp (-iz)}{2i}$$

Proof: By Euler’s formula applied to $z$ and $-z$:

$$\begin{array}{rl}\exp (iz)& =\cos (z)+i\sin (z)\\ \exp (-iz)& =\cos (-z)+i\sin (-z)=\cos (z)-i\sin (z)\end{array}$$

Adding gives $\exp (iz)+\exp (-iz)=2\cos (z)$. Subtracting gives $\exp (iz)-\exp (-iz)=2i\sin (z)$.