6. Differentialrechnung in einer Variablen

6.1 Differentialrechnung

5.1 Differenzquotient

Sei $f:D\to \mathbb{R}$, $x\to y=f(x)$. Sei $D\ne \varnothing$ und enthält keinen isolierten Punkt, d.h. $\forall x\in D$ ist $x$ ein Häufungspunkt von$D\setminus \{x\}$.
Der Differenzquotient ist dann

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

5.2. Ableitung

Aus dem Differenzquotient wird die Ableitung (auch Differentialquotient). Die Ableitung von $f$ an der Stelle $a$ ist gegeben durch (sofern der Grenzwert existiert):

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\underset{b\to a}{\lim }\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{dy}{dx}{\mid }_{x=a}=\frac{df}{dx}{\mid }_{x=a}=f^{\prime }(a)$$

Diese Größe ist gleichbedeutend mit der momentanen Änderungsrate, der Steigung der Tangente.

5.3 Ableitungsfunktion

Die Ableitungsfunktion ist gegeben durch

$$a\to f^{\prime }(a)=\frac{dy}{dx}{\mid }_{x=a}$$

Sie ist also an jedem Punkt gleich der Ableitung der Stammfunktion.

Differenzierbar

Falls für $f$ die Ableitung $f^{\prime }$ an der Stelle $x$ existiert, so nennen wir $f$ an der Stelle $x$ differenzierbar.

5.5 Differenzierbar $⟹$ stetig

Ist $f$ and $x_0$ differenzierbar, so ist $f$ in $x_0$ stetig.

Proof: Wir wollen zeigen dass gilt ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ wenn $f$ in $x_0$ differenzierbar ist.

1. ${\lim }_{x\to x_0}f(x)={\lim }_{h\to 0}f(x_0+h)$ (Variable change, $h=x-x_0$)
2. $={\lim }_{h\to 0}(f(x_0+h)-f(x_0)+f(x_0))$
3. $={\lim }_{h\to 0}\frac{(f(x_0+h)-f(x_0))}{h}\cdot h+f(x_0)$
4. $={\lim }_{h\to 0}\frac{(f(x_0+h)-f(x_0))}{h}\cdot {\lim }_{h\to 0}h+f(x_0)$
5. $=f^{\prime }(x_0)\cdot h+f(x_0)$ (da $f$ in $x_0$ ableitbar ist)
6. $=f(x_0)\cdot 0+f(x_0)=f(x_0)$

5.6 Links/rechtsseitig Ableitbar

Falls der Grenzwert

$$\underset{\begin{array}{c}h>0\end{array}h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

existiert, nennt man diesen die rechtsseitige Ableitung und $f$ an der Stelle $a$ rechtsseitig differenzierbar.

Note, the Van der Waerden function that is continuous in all points but not differentiable anywhere:

5.7 Höhere Ableitungen

Sei $f:D\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ eine Funktion.
Iterativ definieren wir die höheren Ableitungen:

$$f^{(0)}=f,f^{(1)}=f^{\prime },f^{(}2)=f^{\prime \prime },f^{(n+1)}=(f^{(n)}{)}^{\prime }$$

Falls $f^{(}n)$ existiert, nennt man $f$ $n$-fach differenzierbar.

5.7.b) Höhere stetige Ableitungen

Falls die $n$-ten Ableitungen auch noch stetige Funktionen sind, nennen wir $f$ n-fach stetig differenzierbar.
Die Menge aller $n$-fach stetig differenzierbaren Funktionen auf $D$ bezeichnen wir mit $C^n(D)$.

5.7.c Glatte Funktionen

Sei $C^{\infty }(D):={\bigcap }_{n=0}^{\infty }{C}^n(D)$.
Die Funktionen in $C^{\infty }(D)$ nennen wir glatte Funktionen.

Note, $C^0(D)$ wird die Menge aller auf $D$ stetigen Funktionen bezeichnet.

6.1.0,5 Carathéodory

Wir können Differenzierbarkeit auch auf eine andere Weise schreiben, welche oft nützlich ist.

Carathéodory

Sei $f$ in $x_0$ Differenzierbar. Dann existiert eine um $x_0$ stetige Funktion $\Phi$, sodass

$$f(x)=f(x_0)+\Phi (x)(x-x_0)$$

wobei gilt $\Phi (x_0)=f^{\prime }(x_0)$.

Explizit konstruiert wird $\Phi$ durch:

$$\Phi (x)=\{\begin{array}{ll}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}& \text{ fu¨r }x\ne x_0\\ f^{\prime }(x_0)& \text{sonst}\end{array}$$

Intuition: $\Phi (x)$ ist die Steigung der Sekante von $f(x_0)$ und $f(x)$. Und für $x\to x_0$ gilt, dass die Steigung genau gleich $f^{\prime }(x_0)$ ist (Definition Ableitung).

6.1.1 Ableitungsregeln

5.8 Summen und Multiplikationsregeln

Es seien $f,g:D\to \mathbb{R}$ zwei an der Stelle $x_0$ $n$-fach differenzierbare Funktionen. Dann ist $f+g$ und $f\cdot g$ an der Stelle $x_0$ ebenfalls $n$-fach differenzierbar, und es gilt

$$(f+g{)}^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0)+g^{(n)}(x_0)$$

und

$$(f\cdot g{)}^{(n)}(x_0)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(k)}(x_0)g^{(n-k)}(x_0)$$

Intuitiv Die Summenregel macht sinn, weil Addition nicht die steigung, nur die “absolute höhe” ändert.

Proof: (Addition) für $f$ und $g$ an $x$ differenzierbar

1. $\lim (f+g{)}^{\prime }(x)=\lim \frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x_0)-g(x_0)}{h}$ (einsetzen)
2. $\lim (f+g{)}^{\prime }(x)=\lim \frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim \frac{g(x+h)-g(x)}{h}$ (Summenregel für Grenzwerte)
3. $\lim (f+g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$.
   Dann per Induktion für $h^{(n)}$.

5.9 Kettenregel

Es sei $f:D\to E$ differenzierbar an der Stelle $x_0$ und es sei $g:E\to \mathbb{R}$ differenzierbar an $y_0=f(x_0)$. Dann ist $g\circ f:D\to \mathbb{R}$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar und es gilt

$$(g\circ f{)}^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(f(x_0))f^{\prime }(x_0)$$

Proof: Wir beweisen die Kettenregel.

1. Carathéodory’s Criterion: $h$ differenzierbar in $x_0$ $⟺$ $\exists$ Funktion $\phi$, stetig in $x_0$ sodass

$$h(x)-h(x_0)=\phi (x)(x-x_0)$$

dies sieht man leicht, da durch dividieren der Differentialquotient rauskommt.
Außerdem sei angemerkt, $\varphi (x_0)=h^{\prime }(x_0)$ laut limes von $x\to x_0$.
2. Da $f$ und $g$ an $x_0$ und $y_0=f(x_0)$ differenzierbar sind gilt laut Carathéodory:
$f(x)-f(x_0)=\phi (x)(x-x_0)$ und $g(y)-g(y_0)=\psi (y)(y-y_0)$
3. Dann setzen wir ein $g(f(x))-g(f(x_0))=\psi (f(x))(f(x)-f(x_0))$
4. Dann setzen wir $f(x)-f(x_0)$ ein für

$$g(f(x))-g(f(x_0))=\psi (f(x))\phi (x)(x-x_0)$$

5. Nun sei $\Psi (x)=\psi (f(x))\phi (x)$ dann gilt $g(f(x))-g(f(x_0))=\Psi (x)(x-x_0)$ und laut Carathéodory (andere Richtung) gilt dass $g(f(x))$ differenzierbar in $x_0$ ist.
6. Dann gilt also $\Psi (x_0)=\psi (f(x_0))\phi (x_0)=g^{\prime }(f(x_0))f^{\prime }(x_0)$.

Carathéodory (Imamoglu)

$h$ differenzierbar in $x_0$ $⟺$ $\exists$ Funktion $\phi$, stetig in $x_0$ sodass

$$h(x)-h(x_0)=\phi (x)(x-x_0)$$

wobei $\phi (x)=f^{\prime }(x)+r(x)$ wo $r(x)$ die “Fehlerfunktion” der linearen Approximation ist.
Es gilt $\phi (x_0)=f^{\prime }(x_0)$ $⟹$ $r(x_0)=0$, der Fehler ist also $0$.

Die Funktion $r(x)$ unterscheidet sich von einem normalen Fehlerterm dadurch, das sie von $x$ abhängt.

5.11 Ableitung der Umkehrfunktion

Sei $f:D\to E\subset \mathbb{R}$ stetig und bijektiv, mit $f^{-1}:E\to D$ ebenfalls stetig. Sei $x_0\in D$ ein Häufungspunkt von $D\setminus \{x_0\}$, und $f$ differenzierbar an $x_0$ mit $f^{\prime }(x_0)\ne 0$.

Dann ist $f^{-1}$ an der Stelle $y_0=f(x_0)$ differenzierbar, und es gilt

$${\left(f^{-1}\right)}^{\prime }(y_0)=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$$

Intuition Die Umkehrfunktion ist die Funktion an der $y=x$ Achse gespiegelt. Daher gilt für die Tangente (also Ableitung) das gleiche.

Proof: Wir können annehmen, dass $f^{-1}$ auf $D$ stetig ist, laut 5.3 Stetigkeit Theorem 4.28.

1. Für alle $x\in D$ gilt $(f^{-1}\circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=x$
2. Wir differenzieren beide Seiten am Punkt $x_0$ $f^{-1}(f(x_0))\cdot f^{\prime }(x_0)=(x{)}^{\prime }=1$
3. Dann gilt für $y_0=f(x_0)$ also $f^{-1}(y_0)\cdot f^{\prime }(x_0)=1$ und da $f^{\prime }(x_0)\ne 0$ laut Annahme, können wir dividieren.
4. Also erhalten wir

$$f^{-1}(y_0)=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$$

Es sei angemerkt, dass wir hier noch beweisen müssten, dass $f^{-1}$ an $y_0$ ableitbar ist.

Hier sind einige Ableitungsregeln noch einmal zusammengefasst:

Kategorie	Funktion	Ableitung
Konstante	$c$	$0$
Lineare Funktion	$ax+b$	$a$
Potenzfunktion	$x^n$	$n{x}^{n-1}$
Exponentialfunktion (Basis $e$)	$e^x$	$e^x$
Exponentialfunktion (beliebige Basis)	$a^x=e^{\ln (a)x}$	$\ln (a)a^x$, $a>0$
Natürlicher Logarithmus	$\ln (x)$	$\frac{1}{x}$
Allgemeine Logarithmusfunktion	${\log }_a(x)$	$\frac{1}{x\ln (a)}$
Sinus	$\sin (x)$	$\cos (x)$
Cosinus	$\cos (x)$	$-\sin (x)$
Tangens	$\tan (x)$	$\frac{1}{{\cos }^2(x)}=1+{\tan }^2(x)$
Sinus hyperbolicus${}^a$	$\sinh (x)$	$\cosh (x)$
Cosinus hyperbolicus${}^b$	$\cosh (x)$	$\sinh (x)$
Arcussinus	$\arcsin (x)$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
Arcuscosinus	$\arccos (x)$	$\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
Arcustangens	$\arctan (x)$	$\frac{1}{1+x^2}$
${}^a\sinh (x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$, ${}^b\cosh (x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

Beispiel: Ableitung der Exponentialfunktion. Wir wollen zeigen, dass $(e^x{)}^{\prime }(x)=e^x$.

1. Wir wissen $e^x={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{x}^k$ laut Taylor-Expansion und das “Potenzreihen termweise abgeleitet werden dürfen”.
2. Also gilt $(e^x{)}^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}\left({\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{x}^k\right)$ $={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{k}{k!}{x}^{k-1}$ $={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{1}{(k-1)!}{x}^{k-1}$
3. Der 1. Term $\frac{1}{0!}{x}^0$ wird zu $0$ abgeleitet und daher gilt $(e^x{)}^{\prime }(x)=0+1+x^1+\cdots ={\sum }_{s=0}^{\infty }\frac{1}{s!}{x}^s=e^x$.

Alternativer Beweis: Es gilt $(e^x{)}^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}$

$$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x\cdot e^h-e^x}{h}=e^x\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^h-1}{h}$$

weil gilt $e^h={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{h}^k$.

$$=\underset{h\to 0}{\lim }{e}^x(1+\frac{h}{2}+\dots )=e^x\underset{h\to 0}{\lim }(1+\frac{h}{2}+\dots )=e^x$$

Proof: $(ln(x){)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

• $\ln (\exp x)=x$ by definition, they are inverse
• Wir differenzieren: $(\ln (\exp x){)}^{\prime }={\ln }^{\prime }(\exp x)\exp x=(x{)}^{\prime }=1$
• Thus ${\ln }^{\prime }(\exp x)=\frac{1}{\exp x}$
• But we know $\exp x:\mathbb{R}\to (0,\infty )$ bijektiv
  • thus $\forall y\in (0,\infty ),\exists x$ s.t $\exp x=y$
• Therefore $\ln (y)=\frac{1}{y}$ for $y\in (0,\infty )$

Proof: für $a\in \mathbb{R}$ gilt $(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1}$

• $x^a=\exp (a\ln (x))$, $x>0$
• $(x^a{)}^{\prime }=(g\circ f{)}^{\prime }(x)=g^{\prime }(f(x))\cdot f^{\prime }(x)$ wo $f(x)=a\ln x$ and $g(y)=\exp y$
• Dann gilt $(x^a{)}^{\prime }=\exp a\ln x\cdot \frac{a}{x}=\frac{a\cdot x^a}{x}=a\cdot x^{a-1}$

6.1.1,5 Ableitungen Trigonometrische Funktionen (Imamoglu)

Derivative of $\arcsin$

For $y\in (-1,1)$,

$${\arcsin }^{\prime }(y)=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$$

Proof: Restrict $\sin$ to $[-\pi /2,\pi /2]$, where ${\sin }^{\prime }=\cos >0$, so $\sin$ is strictly increasing and bijective onto $[-1,1]$.

• inverse function rule gives ${\arcsin }^{\prime }(y)=\frac{1}{\cos (x)}$ where $y=\sin (x)$
• Since $x\in (-\pi /2,\pi /2)$, $\cos (x)>0$
• ${\cos }^2(x)=1-{\sin }^2(x)$
• $\cos (x)=\sqrt{1-{\sin }^2(x)}=\sqrt{1-y^2}$.

Derivative of $\arccos$

For $y\in (-1,1)$,

$${\arccos }^{\prime }(y)=-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$$

Proof: Restrict $\cos$ to $[0,\pi ]$, where ${\cos }^{\prime }=-\sin <0$, so $\cos$ is strictly decreasing and bijective onto $[-1,1]$

• The inverse function rule gives ${\arccos }^{\prime }(y)=\frac{1}{-\sin (x)}$ where $y=\cos (x)$
• Since $x\in (0,\pi )$, $\sin (x)>0$
• ${\sin }^2(x)=1-{\cos }^2(x)$
• $\sin (x)=\sqrt{1-{\cos }^2(x)}=\sqrt{1-y^2}$.

Derivative of $\arctan$

For all $y\in \mathbb{R}$,

$${\arctan }^{\prime }(y)=\frac{1}{1+y^2}$$

Proof: Restrict $\tan$ to $(-\pi /2,\pi /2)$, where ${\tan }^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^2(x)}>0$, so $\tan$ is strictly increasing and bijective onto $\mathbb{R}$.

• The inverse function rule gives ${\arctan }^{\prime }(y)={\cos }^2(x)$ where $y=\tan (x)$
• From the identity $1+{\tan }^2(x)=\frac{1}{{\cos }^2(x)}$
• ${\cos }^2(x)=\frac{1}{1+{\tan }^2(x)}=\frac{1}{1+y^2}$.

6.1.2 Extrema

5.12 Lokale Extrema

Sei $f:D\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ und $x_0\in D$.

• $x_0$ ist ein lokales Maximum, falls $\exists \delta >0$ mit $f(x_0)\ge f(x)$ für alle $x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )\cap D$. Der Wert $f(x_0)$ heisst lokaler Maximalwert.

• Ist die Ungleichung strikt, heisst $x_0$ isoliertes lokales Maximum.

  
  

• $x_0$ ist ein lokales Minimum, falls $\exists \delta >0$ mit $f(x_0)\le f(x)$ für alle $x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )\cap D$. Der Wert $f(x_0)$ heisst lokaler Minimalwert.

• Ist die Ungleichung strikt, heisst $x_0$ isoliertes lokales Minimum.

$x_0$ heisst lokale Extremalstelle (lokales Extremum) von $f$, falls $f$ dort ein lokales Minimum oder Maximum besitzt. Der Wert $f(x_0)$ heisst lokaler Extremwert.

Note, Lokale Extrema sind nur in isolierten Punkten interessant. Für eine Funktion mit einer “Stiege” und danach flach, ist es nicht interessant, das an den flachen auch lokale minima / maxima sind.

Note, es kann mehrere globale Minima / Maxima für eine Funktion geben, sofern sie alle den gleichen Minimalwert annehmen.

5.13 Notwendige Bedingung für Extrema

Sei $f:D\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, differenzierbar an der lokalen Extremalstelle $x_0\in D$, und $x_0$ sei Häufungspunkt von $D\cap (x_0,\infty )$ und von $D\cap (-\infty ,x_0)$.

Dann gilt $f^{\prime }(x_0)=0$.

Proof: O.B.d.A. sei $x_0$ eine lokale Minimumstelle. Dann existiert ein $\delta >0$ sodass $f(x)\ge f(x_0)\text{fu¨r alle }x\in D\text{ mit }|x-x_0|<\delta$.

1. Rechtsseitig: Sei $x\in D\cap (x_0,x_0+\delta )$. Dann gilt $f(x)-f(x_0)\ge 0$ und $x-x_0>0$, also $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0$.

   1. Da $x_0$ ein Häufungspunkt von $D\cap (x_0,\infty )$ ist, existiert eine Folge $(x_n)\subset D\cap (x_0,x_0+\delta )$ mit $x_n\to x_0$.
   2. Da $f$ in $x_0$ differenzierbar ist, konvergiert der Differenzenquotient gegen $f^{\prime }(x_0)$, und wegen der Monotonie des Grenzwerts folgt $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{n\to \infty }\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\ge 0$.

2. Linksseitig: Sei $x\in D\cap (x_0-\delta ,x_0)$. Dann gilt $f(x)-f(x_0)\ge 0$ und $x-x_0<0$, also $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0$.
   Da $x_0$ ein Häufungspunkt von $D\cap (-\infty ,x_0)$ ist, existiert analog eine Folge $(y_n)\subset D\cap (x_0-\delta ,x_0)$ mit $y_n\to x_0$. Analog folgt also $f^{\prime }(x)\le 0$

3. Aus $f^{\prime }(x_0)\ge 0$ und $f^{\prime }(x_0)\le 0$ folgt $f^{\prime }(x_0)=0$.

Lokale Extremalstellen auf einem Intervall (Prop 5.14)

Sei $I\subset \mathbb{R}$ ein Intervall, $f:I\to \mathbb{R}$, und $x_0$ eine lokale Extremalstelle von $f$. Dann gilt mindestens eine der folgenden Aussagen:

1. $x_0\in I$ ist ein Endpunkt des Intervalls $I$
2. $f$ ist an $x_0$ nicht differenzierbar
3. $f$ ist an $x_0$ differenzierbar und es gilt $f^{\prime }(x_0)=0$

Stellen, an denen $f^{\prime }(x_0)=0$, nennt man kritische Punkte (oder stationäre Punkte).

Prop 5.14 sagt: Extremalstellen im Inneren eines Intervalls sind stets kritische Punkte — aber nicht jeder kritische Punkt ist eine Extremalstelle. Anders gesagt: nur weil $f^{\prime }(x)=0$ heißt das noch nicht, das an $x$ f auch ein lokales Extremum hat. Siehe $f(x)=x^3$.
d.h. $x_0$ ist ein lok. Extremum $\Rightarrow f^{\prime }(x_0)=0$.

First Derivative Test (Imamoglu)

Sei $f:(a,b)\to \mathbb{R}$, $x_0\in (a,b)$, und $f$ ist in $x_0$ differenzierbar.

1. Falls $f^{\prime }(x_0)>0$, gibt es $\delta >0$ mit

$$f(x)>f(x_0)\forall x\in (x_0,x_0+\delta )$$

und

$$f(x)<f(x_0)\forall x\in (x_0-\delta ,x_0)$$

2. Falls $f^{\prime }(x_0)<0$, gibt es $\delta >0$ mit

$$f(x)<f(x_0)\forall x\in (x_0,x_0+\delta )$$ $$f(x)>f(x_0)\forall x\in (x_0-\delta ,x_0)$$

3. Falls $f$ in $x_0$ ein lokales Extremum besitzt, folgt dass $f^{\prime }(x_0)=0$.
   Note, dies gilt nur für $x_0$ Links- und Rechtsseitger Akkumulationspunkt von $D$ (ein Rand-extrema muss nicht Steigung $0$ haben…)

Proof: (3) Annahme: $f^{\prime }(x_0)>0$

• $f$ in $x_0$ differenzierbar $⟹$ $\exists \Phi$ in $x_0$ stetig sodass gilt $f(x)=f(x_0)+\Phi (x)(x-x_0)$.

• Es gilt per Annahme $f^{\prime }(x_0)=\Phi (x_0)>0$

• Da $\Phi$ in $x_0$ stetig ist $\exists \delta$ s.t. $\forall x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )$: $\Phi (x)>0$

• Sei $ϵ=\frac{\Phi (x_0)}{2}>0$ dann $\exists \delta >0$ s.t. $|x-x_0|<\delta ⟹|\Phi (x)-\Phi (x_0)|<ϵ=\frac{\Phi (x_0)}{2}$

• $|x-x_0|<\delta ⟹$

  • $⟹-\frac{\Phi (x_0)}{2}<\Phi (x)-\Phi (x_0)<\frac{\Phi (x_0)}{2}$
  • $⟹0<\frac{\Phi (x_0)}{2}<\Phi (x)<3\frac{\Phi (x_0)}{2}$
    Heißt also, $\Phi (x)>0$ in der $\delta$-Umgebung von $x_0$. Ergo die Funktion hat dort einen Sattelpunkt (links ist $(x-x_0)$ negativ und recht positiv → links bergab, rechts bergauf).

6.1.3 Kritische Punkte (Imamoglu)

Kritischer Punkt

Ein kritischer Punkt einer Funktion ist ein Punkt $x_0$ an dem gilt $f^{\prime }(x_0)=0$ oder $f^{\prime }(x_0)$ undefiniert ist.

6.2 Mittelwertsätze und Anwendungen

6.2.1 Mittelwertsätze

5.15 Satz von Rolle

Sei $a<b$ und $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ stetig auf $[a,b]$ und differenzierbar auf $(a,b)$. Falls $f(a)=f(b)$, dann existiert ein $\xi \in (a,b)$ mit

$$f^{\prime }(\xi )=0$$

Proof: Da $f$ auf dem kompakten Intervall $[a,b]$ stetig ist, nimmt sie ihr Maximum und Minimum an (Min-Max Theorem or EVT).

1. Falls eines davon im Inneren $(a,b)$ angenommen wird, muss dort $f^{\prime }(\xi )=0$ gelten (nach Prop 5.13).
2. Falls sowohl Maximum als auch Minimum auf dem Rand angenommen werden, folgt aus $f(a)=f(b)$:

$$f(a)=\underset{x\in [a,b]}{\max }f(x)=\underset{x\in [a,b]}{\min }f(x)=f(b)$$

also $f(a)\le f(x)\le f(a)$ für alle $x\in [a,b]$, d.h. $f$ ist konstant, und damit $f^{\prime }(x)=0$ für alle $x\in (a,b)$.

5.16 Mittelwertsatz (MWS)

Sei $a<b$ und $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ stetig auf $[a,b]$ und differenzierbar auf $(a,b)$. Dann existiert ein $\xi \in (a,b)$ mit

$$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

Intuitiv: Der Mittelwertsatz besagt: die momentane Änderungsrate an irgendeiner Stelle $\xi$ stimmt mit der durchschnittlichen Änderungsrate auf $[a,b]$ überein.

Proof: Der Beweis nutzt den Satz von Rolle auf einer “transformierten” Funktion.

1. Betrachten wir die Hilfsfunktion $h(x)=f(x)-g(x)$ wo $g(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$.
2. Dann gilt $h(a)=f(a)-(...)(a-a)=f(a)-0$
3. und $h(b)=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(b)-f(b)+f(a)=f(a)$.
4. Thus $h(a)=h(b)$ und $h$ differenzierbar auf (a, b) da $b-a\ne 0$
5. Laut des Satz von Rolle gilt also $\exists \xi$ sodass $h^{\prime }(\xi )=0$ $⟹$ $0=f^{\prime }(\xi )-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ $⟹$ $f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
   Note $(x-a{)}^{\prime }=1$.

Some conclusions we can draw from this:

1. If two functions have the same derivative, they can only differ by a constant.
2. $>0$ derivative implies strict monotonicity.
3. $\ge 0$ derivative implies monotonicity.

Cauchy-Mittelwertsatz (Satz 5.17)

Sei $a<b$ und $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ stetig auf $[a,b]$ und differenzierbar auf $(a,b)$. Dann existiert ein $\xi \in (a,b)$ mit

$$g^{\prime }(\xi )(f(b)-f(a))=f^{\prime }(\xi )(g(b)-g(a))$$

Falls zusätzlich $g^{\prime }(x)\ne 0$ für alle $x\in (a,b)$, dann ist $g(b)\ne g(a)$ und

$$\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$

Proof: Man untersucht die Hilfsfunktion $F(x):=g(x)[f(b)-f(a)]-f(x)[g(b)-g(a)]$ und wendet den Satz von Rolle an.

Intuitiv, es gibt einen Punkt $\xi$ an dem das Ratio der Ableitungen gleich dem Ratio $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ also $\frac{\Delta f}{\Delta g}$ über das Interval $[a,b]$ ist.

6.2.1 Bernoulli-l’Hôpital

5.18 L'Hôpital Version 1 — $\frac{0}{0}$

Sei $a<b$ und $f,g:(a,b)\to \mathbb{R}$ differenzierbar mit $g(x)\ne 0$, $g^{\prime }(x)\ne 0$ für alle $x\in (a,b)$. Ausserdem sei

$$\underset{\begin{array}{c}x>a\\ x\to a\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x>a\\ x\to a\end{array}}{\lim }g(x)=0$$

und der Grenzwert $L=\underset{\begin{array}{c}x>a\\ x\to a\end{array}}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ existiere.

Dann existiert auch $\underset{\begin{array}{c}x>a\\ x\to a\end{array}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$ und ist gleich $L$.

Proof: Mit dem Cauchy-MWS können wir für $(a,x)$ wo $x\to a$ geht, schreiben:

$$\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}$$

da gilt ${\lim }_{x\to a}f(x)=g(x)=0$ gilt im Limit auch

$$\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(x)}{g(x)}$$

und weil für $x\to a$ und $a<\xi <x$ für $x\to a$ dann gilt $\xi \to a$ haben wir

$$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=L$$

nach Annahme.

5.19 L'Hôpital Version 2 — $\frac{\infty }{\infty }$

Wie Version 1, aber statt $\frac{0}{0}$ gelte

$$\underset{\begin{array}{c}x>a\\ x\to a\end{array}}{\lim }|f(x)|=\underset{\begin{array}{c}x>a\\ x\to a\end{array}}{\lim }|g(x)|=\infty$$

Dann gilt dasselbe Resultat: $\underset{\begin{array}{c}x>a\\ x\to a\end{array}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=L$.

Proof: Da wir hier nicht einfach $\lim f(x)=g(x)=0$ einsetzen können, verwenden wir einen Hilfspunkt $x_0$ nahe $a$ und wenden den Cauchy-MWS auf $[x,x_0]$ an.

1. Sei $ϵ>0$. Wähle $\delta >0$ so dass $\forall t\in (a,a+\delta )$ gilt $\left|\frac{f^{\prime }(t)}{g^{\prime }(t)}-L\right|<ϵ$.
2. Dann fixieren wir ein $x_0\in (a,a+\delta )$. Für $x\in (a,x_0)$ wenden wir den Cauchy-MWS auf $[x,x_0]$ and und dann gibt es $\xi \in (x,x_0)\subset (a,a+\delta )$ mit

$$\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$$

3. Dann erhalten wir durch Umformen (und dividieren durch $g(x)$) das Folgende

$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}\cdot (1-\frac{g(x_0)}{g(x)})+\frac{f(x_0)}{g(x)}$$

wobei weil $|g(x)|\to \infty$ für $x\to a^{+}$ gilt $g(x_0)/g(x)\to 0$ und $f(x_0)/g(x)\to 0$.

Da $ϵ>0$ beliebig war folgt

$$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=L$$

da $\xi \in (a,a+\delta )$ liegt.

5.20 L'Hôpital Version 3 — $x\to \infty$

Sei $R>0$ und $f,g:(R,\infty )\to \mathbb{R}$ differenzierbar mit $g(x)\ne 0$, $g^{\prime }(x)\ne 0$ für alle $x\in (R,\infty )$. Es gelte entweder

$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to \infty }{\lim }g(x)=0\text{oder}\underset{x\to \infty }{\lim }|f(x)|=\underset{x\to \infty }{\lim }|g(x)|=\infty$$

und der Grenzwert $L=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ existiere.

Dann gilt $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=L$.

Proof: Dieser Satz folgt durch Substitution direkt aus 1 und 2.

1. Setze $t=1/x$ d.h. $x\to \infty$ entspricht $t\to 0^{+}$. Dann sei $F(t):=f(1/t)$, $G(t):=g(1/t)$
2. Also gilt ${\lim }_{t\to 0^{+}}F(t)={\lim }_{x\to \infty }f(x)$ und für $G(x)$ analog.
3. Also gilt entweder $F(t),G(t)\to 0$ oder $|F(t)|,|G(t)|\to \infty$.
4. Außerdem gilt

$$\frac{F^{\prime }(t)}{G^{\prime }(t)}=\frac{f^{\prime }(1/t)\cdot (-1/t^2)}{g^{\prime }(1/t)\cdot (-1/t^2)}=\frac{f^{\prime }(1/t)}{g^{\prime }(1/t)}\to \underset{t\to 0^{+}}{\lim }L$$

Damit sind alle Voraussetzungen für 1 oder 2 erfüllt, mit $t\to 0^{+}$. Also folgt

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{F(t)}{G(t)}=L$$

Applying to non-indeterminate Form gives wrong results

L’Hôpital’s rule applies only to the indeterminate forms $\frac{0}{0}$ or $\frac{\infty }{\infty }$. Applying it to a fraction that is not of this form gives wrong results.

Beispiel:
$\frac{{\lim }_{x\to 1}{x}^2+1}{x+1}=\frac{1+1}{1+1}=1$. But if you use l’Hôpital’s here, you get $\frac{(x^2+1{)}^{\prime }}{(x+1{)}^{\prime }}=\frac{2x}{1}\to 2$.

One-directional Implication

Es gilt nur $\lim \frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}\text{exists}⟹\lim \frac{f}{g}\text{ exists and equals it}$. Das gilt nicht in die Andere Richtung.

Beispiel: $\frac{x+\sin x}{x}\to 1$ as $x\to \infty$ but $\frac{1+\cos x}{1}$ has no limit!

6.3 Konvexität, Konkavität

Monotonie und Ableitung (Prop 5.21)

Sei $I\subset \mathbb{R}$ ein Intervall und $f:I\to \mathbb{R}$ differenzierbar. Dann gilt

$$f^{\prime }\ge 0⟺f\text{ ist wachsend}$$

Konstante Funktionen (Prop 5.22)

Sei $I\subset \mathbb{R}$ ein Intervall und $f:I\to \mathbb{R}$. Dann ist $f$ genau dann konstant, wenn $f$ differenzierbar ist und $f^{\prime }(x)=0$ für alle $x\in I$.

Wir können nur Konvexität und Konkavität mit Ableitungen in Verbindung bringen.

Konvexität (Def 5.23)

Eine Funktion $f:I\to \mathbb{R}$ heisst konvex auf dem Intervall $I$, falls ihr Graph stets unterhalb der Verbindungsgeraden durch je zwei Punkte auf dem Graphen verläuft. Formal: für alle $a,b\in I$ mit $a<b$ und $t\in (0,1)$:

$$f\left((1-t)a+tb\right)\le (1-t)f(a)+tf(b)$$

Ist die Ungleichung strikt, heisst $f$ strikt konvex. $g$ heisst (strikt) konkav, falls $-g$ (strikt) konvex ist.

Note, dies nutzt die parametrisierte Form einer Gerade. Für die Sekante von $f(a)$ nach $f(b)$ gilt $y==f(a)+t(f(b)-f(a))=(1-t)f(a)+tf(b)$ (kind of linear scaling).
$f(a)$ ist der “Stützpunkt” und wir skalieren dann linear die Differenz drauf.

Intuitiv: Wenn für alle Punkte von $(a,b)$ (geschrieben als $(1-t)a+tb)$) gilt, dass
$f(x)\le$ Sekante ist, so ist die Funktionskurve unter der Sekante $⟹$ convex!

Bemerkung: Die Konvexitätsbedingung ist äquivalent dazu, dass für alle $x\in (a,b)$ gilt:

$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le \frac{f(b)-f(x)}{b-x}$$

d.h. die Differenzenquotienten vom linken Rand sind stets kleiner als jene zum rechten Rand.

Intuitiv: Steigung von $f(a)\to f(x)$ ist kleiner als $f(x)\to f(b)$. Falls die Steigung von $f(x)\to f(b)$ kleiner wäre, gäbe es ja einen Sattelpunkt/Extremum dazwischen.

Konvexität und Monotonie der Ableitung (Prop 5.24)

Sei $I\subset \mathbb{R}$ ein Intervall und $f:I\to \mathbb{R}$ differenzierbar. Dann ist $f$ auf $I$ genau dann konvex, wenn $f^{\prime }$ auf $I$ wachsend ist.

Proof:

1. $(\Leftarrow )$ Sei $f^{\prime }$ wachsend und seien $a,b\in I$ mit $a<b$, $x_0\in (a,b)$. Der Mittelwertsatz liefert $\xi \in (a,x_0)$ und $\chi \in (x_0,b)$ mit

$$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}\text{und}{f}^{\prime }(\chi )=\frac{f(b)-f(x_0)}{b-x_0}$$

Da $\xi <\chi$ und $f^{\prime }$ wachsend: $f^{\prime }(\xi )\le f^{\prime }(\chi )$, also

$$\frac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}\le \frac{f(b)-f(x_0)}{b-x_0}$$

was nach der obigen Bemerkung Konvexität bedeutet.

2. $(\Rightarrow )$ Sei $f$ konvex und $a<b$ in $I$. Für hinreichend kleines $h>0$ mit $a+h<b-h$ liefert die Konvexitätscharakterisierung:

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\le \frac{f(b-h)-f(a+h)}{(b-h)-(a+h)}\le \frac{f(b)-f(b-h)}{h}$$

Grenzübergang $h\to 0^{+}$ und Differenzierbarkeit von $f$ ergeben $f^{\prime }(a)\le f^{\prime }(b)$, also ist $f^{\prime }$ wachsend.

Konvexität und zweite Ableitung (Korollar 5.25)

Sei $I\subset \mathbb{R}$ ein Intervall und $f:I\to \mathbb{R}$ zweimal differenzierbar. Dann ist $f$ auf $I$ genau dann konvex, wenn

$$f^{\prime \prime }\ge 0\text{ auf }I$$

Intuitiv: Die zweite Ableitung sagt uns etwas über die Krümmung der Funktion.

• Eine Funktion ist konvex, wenn die Steigungsrate immer hochgeht (i.e. $f^{\prime \prime }\ge 0$, also die erste Ableitung größer wird). Dann kann jede Sekante nur über der Funktionskurve liegen.

Proof: Dies gilt, da für $f^{\prime \prime }\ge 0$ direkt folgt, dass $f^{\prime }$ wachsend ist.

Side Note: Konvexität und minimieren sind eng verbunden. Für eine konvexe Funktion gilt: sie hat nur ein Minimum.

Tricks / Fallen

Monoton und Fallend/Wachsend

$f\text{streng monoton wachsend}/⟹f^{\prime }>0$, siehe z.B. $x^3$ welche in $x=0$ einen Sattelpunkt hat.

Lokale Extremwerte

If $f^{\prime }(a)=0$ and $f\prime \prime (a)<0$, then $f$ has a strict local maximum at $a$.