7. Integralrechnung in einer Variablen

7.1 Konstruktion des Riemann-Integrals für Treppenfunktionen

7.1.1 Zerlegungen

Sei $[a,b]\subset \mathbb{R}$ stets ein kompaktes Intervall.

6.1 Zerlegung

Eine Zerlegung (engl. decomposition) von $[a,b]$ ist eine endliche Menge von Punkten

$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<x_n=b,n\in \mathbb{N}$$

Die Punkte $x_i$ heissen Unterteilungspunkte (engl. division points).

Eine Zerlegung führt automatisch zu einer Partition von $[a,b]$:

$$[a,b]=\{x_0\}\cup (x_0,x_1)\cup \{x_1\}\cup (x_1,x_2)\cup \cdots \cup (x_{n-1},x_n)\cup \{x_n\}.$$

6.1 Verfeinerung

Eine Zerlegung $a=y_0<y_1<\cdots <y_m=b$ heisst Verfeinerung (engl. refinement) der Zerlegung $a=x_0<\cdots <x_n=b$, falls $\{x_0,x_1,\dots ,x_n\}\subseteq \{y_0,y_1,\dots ,y_m\}$.

Beispiel Auf $[0,10]$ betrachten wir die Zerlegungen

• $0=x_0<x_1=5<x_2=10$
• $0=y_0<y_1=1<\cdots <y_9=9<y_{10}=10$
  Die zweite ist eine Verfeinerung der Ersten (subset).
  Die Funktion $f(x):=\{\begin{array}{ll}0& \text{falls }x=0\\ n& \text{falls }x\in (x_{n-1},x_n]\end{array}$ ist eine Treppenfunktion für die Zweite, aber nicht für die Erste (weil sie auf $(0,5)$ nicht konstant ist).

6.2 Treppenfunktion

Eine Funktion $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ heisst Treppenfunktion (engl. step function), falls es eine Zerlegung $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ gibt, sodass für $k=1,2,\dots ,n$ die Restriktionen $f{|}_{(x_{k-1},x_k)}$ konstant sind.

Man sagt dann, $f$ sei eine Treppenfunktion bezüglich dieser Zerlegung.

Note: es ist nur der Wert der Treppenfunktion über $(x_{k-1},x_k)$ interessant, die Randpunkte sind egal. → einzelne Werte ändern das Integral nicht.

Note: Es wird laut Definition der Treppenfunktion nur Konstanz über das Intervall gefragt, jedoch nichts über die Funktionswerte selber.

6.4 Linearkombination von Treppenfunktionen

Es seien $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ zwei Treppenfunktionen und $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$. Dann ist auch $\alpha f+\beta g$ eine Treppenfunktion.

Proof Sei $Z:=\{z_0,z_1,\dots ,z_n\}$ Union der beiden Unterteilungspunkte gibt gemeinsame Verfeinerung.
Da sowohl $f$ als auch $g$ auf allen Intervallen dann konstant sind (da $Z\subseteq F$ und $Z\subseteq G$), gilt das auch $\alpha f+\beta g$ konstant sind.

• $f$ Treppenfunktion von $Z_f$ ist auch auf $Z$ Treppenfunktion wenn gilt $Z\subseteq Z_f$
• für alle $(z_{k-1},z_k)\in Z$ kann kein $z_i\in Z_h$ existieren, sodass $z_i\in (z_{k-1},z_k)$ liegt, sonst wäre $Z⊈Z_f$.
• Thus $(z_{k-1},z_k)\subseteq (x_{i-1},x_i)$ einem Intervall von $Z_f$. Deswegen muss $f$ auch auf $(z_{k-1},z_k)$ konstant sein.

7.1.1 Integrieren von Treppenfunktionen

Wir können nun das Riemann-Integral für solch eine Treppenfunktion definieren.

6.5 Integral einer Treppenfunktion

Es sei $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ eine Treppenfunktion bezüglich der Zerlegung $a=x_0<\cdots <x_n=b$. Dann ist das Integral der Treppenfunktion $f$ über $[a,b]$ die reelle Zahl

$${\int }_a^{b}f(x)dx:=\sum _{k=1}^n{c}_k(x_k-x_{k-1}),$$

wobei $c_k$ der Funktionswert von $f$ auf dem Intervall $(x_{k-1},x_k)$ ist.

Note (Wohldefiniertheit) Das Riemann-Integral ist eine reelle Zahl; es ist unabhängig von der gewählten Zerlegung.

Wir müssen zeigen, dass für $f$ Treppenfunktion von Zerlegung $x_0,x_1,\dots x_n$ und $y_0,y_1,\dots y_n$,

$$\sum _{k=1}^n{c}_k(x_k-x_{k-1})=\sum _{k=1}^m{d}_k(y_k-y_{k-1})$$

Beweis

1. Besteht eine Verfeinerung nur darin, dass ein Intervall $(x_k,x_{k+1})=(x_k,z)\cup \{z\}\cup (z,x_{k+1})$ aufgeteilt wird, so gilt $c_{k+1}(x_{k+1}-x_k)$ $=c_{k+1}(x_{k+1}-z)+c_{k+1}(z-x_k)$.
2. Ist $a=y_0<\cdots <y_m=b$ eine Verfeinerung mit endlich vielen zusätzlichen Punkten, so folgt die Unabhängigkeit aus i) und vollständiger Induktion.
   Wir haben also gezeigt, dass für $X^{\prime }\subseteq X$ eine Verfeinerung gilt, dass die Summe $S(X^{\prime })=S(X)$ ist.

Ist von zwei Zerlegungen keine eine Verfeinerung der anderen, betrachtet man die Vereinigung der Unterteilungspunkte und argumentiert wie in ii).
1. Seien $X,Y$ zwei disjunkte Zerlegungen für die $f$ eine Treppenfunktion ist.
2. Sei $Z\subseteq X$ und $Z\subseteq Y$ eine gemeinsame Verfeinerung von beiden (die Union)
3. Wir wissen durch ii) dass $S(Z)=S(X)$ und $S(Z)=S(Y)$ $⟹$ $S(X)=S(Y)$

6.6 Linearität des Riemann-Integrals für Treppenfunktionen

Es seien $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ Treppenfunktionen und $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$. Dann gilt

$${\int }_a^b(\alpha f+\beta g)(x)dx=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx+\beta {\int }_a^{b}g(x)dx$$

Proof:

• Wir wissen, dass für $f,g$ Trepenfunktionen $\alpha f+\beta g$ auch eine Treppenfunktion ist.
• Dann finden wir eine Zerteilung sodass $c_k$ der Wert von $f$ und $d_k$ der Wert von $g$ auf jedem Interval ist.
• Dann gilt

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^b(\alpha f+\beta g)(x)dx& =\sum _{k=1}^n(\alpha c_k+\beta d_k)(x_k-x_{k-1})\\ & =\alpha \sum _{k=1}^n{c}_k(x_k-x_{k-1})+\beta \sum _{k=1}^n{d}_k(x_k-x_{k-1})\\ & =\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx+\beta {\int }_a^{b}g(x)dx\end{array}$$

6.7 Monotonie des Riemann-Integrals für Treppenfunktionen $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ Treppenfunktionen mit $f\le g$. Dann gilt

Es seien

$${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx.$$

Note: das gleiche gilt für $f(x)=0$ konstant. Also für $g(x)\ge 0$ ist auch das Integral positiv.

Proof similar as to before. Find common decomposition and then $c_k\le d_k$ in the sums.

7.2 Allgemeines Riemann-Integral

7.2.1 Integrierbarkeit reelwertiger-Funktionen

(Figalli)

Für $A,B\subset \mathbb{R}$ nicht-leer sodass $s\ge t$ für alle $s\in A$ und $t\in B$ gilt

$$\sup A\le \inf B$$

Außerdem gilt $\sup A=\inf B$ $⟺$ für alle $ϵ>0$ existiert ein $s\in A$ und $t\in B$ s.t. $t-s<ϵ$.

Proof: Fix $t\in B$. As $s\le t$ for all $s\in A$, $t$ is an upper bound of $A$. As $\sup A$ ist the smallest upper bound, $\sup A\le t$.
This holds for all $t\in B$, thus $\sup A$ is a lower bound of $B$. Therefore $\sup A\le \inf B$.

6.8 Ober- und Untersummen

Es sei $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ eine Funktion. Die Menge der Obersummen (engl. upper sums) $\mathcal{U}(f)$ bzw. der Untersummen (engl. lower sums) $\mathcal{L}(f)$ ist definiert durch

$$\mathcal{U}(f):=\left\{{\int }_a^{b}s(x)dx|s\in \mathcal{T}\mathcal{F},s\ge f\right\},\mathcal{L}(f):=\left\{{\int }_a^{b}s(x)dx|s\in \mathcal{T}\mathcal{F},s\le f\right\},$$

“Proof”: If $f$ is bounded, then these two sets are non-empty.

• If $f\le |M|$, then $l(x)=-M$ and $u(x)=M$ satisfy $l\in \mathcal{L}$ and $u\in \mathcal{U}$.
• In general, $l,u\in \mathcal{T}\mathcal{F}$ with $l\le f\le u$ gives
  • ${\int }_a^{b}ldx\le {\int }_a^{b}udx$.
• Thus for all $s\in \mathcal{L}(f)$ and $t\in \mathcal{U}(f)$ s.t. $s\le t$
  • which by the theorem from Figalli (non-empty + $s\le t$) gives $\sup \mathcal{L}(f)\le \inf \mathcal{U}(f)$.

6.9 Riemann-integrierbar

Eine beschränkte Funktion $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ heisst Riemann-integrierbar (engl. Riemann integrable), falls $\sup \mathcal{L}(f)=\inf \mathcal{U}(f)$.
In diesem Fall heisst der gemeinsame Wert das Riemann-Integral von $f$ und wird geschrieben als

$${\int }_a^{b}fdx:=\sup \mathcal{L}(f)=\inf \mathcal{U}(f)$$

Note: If $f\ge 0$ is Riemann integrable, we interpret ${\int }_a^{b}fdx$ as the area of the set $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid a\le x\le b,0\le y\le f(x)\}$.

6.10 Integrabilitätskriterium von Darboux

Es sei $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ beschränkt. Dann ist $f$ genau dann Riemann-integrierbar, wenn es für jedes $\epsilon >0$ Treppenfunktionen $l$ und $u$ gibt mit

$$l\le f\le u\text{und}{\int }_a^b(u-l)dx<\epsilon .$$

In einem solchen Fall gilt

$$\left|{\int }_a^{b}fdx-{\int }_a^{b}ldx\right|<\epsilon \text{und}\left|{\int }_a^{b}udx-{\int }_a^{b}fdx\right|<\epsilon .$$

Proof: $A=\mathcal{L}(f)$ and $B=\mathcal{U}(f)$ we obtain

$$\begin{array}{rl}f\text{ is Riemann integrable }& ⟺\sup \mathcal{L}(f)=\inf \mathcal{U}(f)\\ & ⟺\forall \epsilon >0\exists s\in \mathcal{L}(f),t\in \mathcal{U}(f):t-s<\epsilon \\ & ⟺\forall \epsilon >0\exists \ell ,u\in \mathcal{S}\mathcal{F}:\ell \le f\le u\text{ and }{\int }_a^{b}udx-{\int }_a^b\ell dx<\epsilon \\ & ⟺\forall \epsilon >0\exists \ell ,u\in \mathcal{S}\mathcal{F}:\ell \le f\le u\text{ and }{\int }_a^b(u-\ell )dx<\epsilon ,\end{array}$$

6.11 Linearität des Riemann-Integrals

Es seien $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ Riemann-integrierbar und $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$. Dann ist auch $\alpha f+\beta g$ integrierbar, und es gilt

$${\int }_a^b(\alpha f+\beta g)(x)dx=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx+\beta {\int }_a^{b}g(x)dx.$$

Beweis: Wir nutzen das Verhalten von Supremum bzw. Infimum unter Summen von Mengen. Da $f$ und $g$ integrierbar sind, gilt

$$\sup \mathcal{L}(\alpha f+\beta g)=\alpha \sup \mathcal{L}(f)+\beta \sup \mathcal{L}(g)=\alpha \inf \mathcal{U}(f)+\beta \inf \mathcal{U}(g)=\inf \mathcal{U}(\alpha f+\beta g)$$

womit $\alpha f+\beta g$ Riemann-integrierbar ist.
Die Formel folgt dann aus der entsprechenden Tatsache für Treppenfunktionen und Konstruktion des Riemann-Integrals.

6.12 Monotonie des Riemann-Integrals

Es seien $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ Riemann-integrierbar. Falls $f\le g$, so gilt

$${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx.$$

— TODO: proof

6.13 Dreiecksungleichung für das Riemann-Integral

Es sei $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ Riemann-integrierbar. Dann sind auch $f^{+}$, $f^{-}$ und $|f|$ integrierbar, und es gilt

$$\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|\le {\int }_a^b|f(x)|dx.$$

— TODO: proof

7.2.2 Riemann-Integrierbarkeit monotoner und stetiger Funktionen

6.14 Integrierbarkeit monotoner Funktionen

Jede monotone Funktion $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ ist Riemann-integrierbar.

— TODO: proof

6.15 Stückweise monoton

Eine Funktion $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ heisst stückweise monoton (engl. piecewise monotone), falls es eine Zerlegung $a=x_0<\cdots <x_n=b$ gibt, sodass $f{|}_{(x_{k-1},x_k)}$ für jedes $k\in \{1,\dots ,n\}$ monoton ist.

6.16

Jede stückweise monotone (beschränkte) Funktion $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ ist Riemann-integrierbar.

Beispiel 6.17: Wir betrachten die Dirichlet-Funktion $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ wo $f(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{falls }x\in \mathbb{Q}\\ 0& \text{sonst}\end{array}$ ist nicht Riemann-integrierbar.

• Sei $u$ eine Treppenfunktion mit $f\le u$ und Zerlegung $0=x_0<x_1<\cdots <x_n=1$
• Auf jedem Teilintervall $(x_{k-1},x_k)$ existiert ein $x^{\ast }\in \mathbb{Q}$, also gilt $1=f(x^{\ast })\le u(x^{\ast })\le c_k$, wobei $c_k$ der konstante Wert von $u$ ist
  Intuitiv: egal wie klein wir zerlegen, jeder Teil hat ein $x\ast \in \mathbb{Q}$, also muss die upper bound Funktion auf dem Teil $u=1$ haben.

Damit

$${\int }_0^{1}udx\ge \sum _{k=1}^{n}1\cdot (x_k-x_{k-1})=x_n-x_0=1$$

Analog hat jede Treppenfunktion $l\le f$ Integral $0$.
Da $0<1$ und damit kein gemeinsamer Wert existiert, ist $f$ nicht Riemann-integrierbar.

6.18 Integrierbarkeit stetiger Funktionen

Jede stetige Funktion $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ ist Riemann-integrierbar.

Proof: Da $f$ auf einem kompakten Interval stetig ist, ist $f$ auch gleichmäßig stetig auf diesem Interval.

• Fix $\epsilon >0$. By uniform continuity there is $\delta >0$ with

$$|x-y|<\delta ⟹|f(x)-f(y)|<\epsilon \forall x,y\in [a,b]$$

• Choose a partition $a=x_0<\cdots <x_n=b$ with $x_k-x_{k-1}<\delta$. For each $k$ set

$$c_k=\underset{[x_{k-1},x_k]}{\min }f,d_k=\underset{[x_{k-1},x_k]}{\max }f$$

which exist since $f$ is continuous on a compact interval (i.e. bounded).

• Pick $y_k,z_k\in [x_{k-1},x_k]$ with $f(y_k)=c_k$, $f(z_k)=d_k$. Since $|y_k-z_k|\le x_k-x_{k-1}<\delta$, uniform continuity gives $d_k-c_k<\epsilon$.
• Define $\ell (x)=c_k$, $u(x)=d_k$ on $(x_{k-1},x_k)$ (and $\ell =u=f$ at the nodes).
• Then $\ell \le f\le u$, $u-\ell =d_k-c_k$, and

$${\int }_a^b(u-\ell )dx=\sum _{k=1}^n(d_k-c_k)(x_k-x_{k-1})<\epsilon \sum _{k=1}^n(x_k-x_{k-1})=\epsilon (b-a)$$

Since $\epsilon >0$ is arbitrary, $f$ is integrable.

6.19 Stückweise stetig

Eine Funktion $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ heisst stückweise stetig (engl. piecewise continuous), falls es eine Zerlegung $a=x_0<\cdots <x_n=b$ gibt, sodass $f{|}_{(x_{k-1},x_k)}$ für jedes $k$ stetig ist und jeweils beide einseitigen Grenzwerte

$$\underset{\begin{array}{c}x\to x_{k-1}\\ x>x_{k-1}\end{array}}{\lim }f(x)\text{und}\underset{\begin{array}{c}x\to x_k\\ x<x_k\end{array}}{\lim }f(x)$$

existieren.

— TODO: proof

6.20

Jede stückweise stetige Funktion $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ ist Riemann-integrierbar.

— TODO: proof

7.2.3 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz, Vertauschung von Integration und Grenzwert

See 5.3.4 Folgen von Funktionen for details on punktweise vs. gleichmäßige Konvergenz.

Let $(f_n{)}_{n=0}^{\infty }$ with $f_n:[a,b]\to \mathbb{R}$ be integrable and converging (pointwise or uniformly) to $f$. Is $f$ integrable, and does the following hold?

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^b{f}_{n}dx={\int }_a^{b}fdx$$

i.e. can we swap the limit in?

Example: On $D=[0,1]$ define

$$f_n(x)=\{\begin{array}{ll}{n}^{2}x& 0\le x\le \frac{1}{2n},\\ n^2\left(\frac{1}{n}-x\right)& \frac{1}{2n}\le x\le \frac{1}{n},\\ 0& \frac{1}{n}\le x\le 1.\end{array}$$

Each $f_n$ is continuous, and its graph is a triangle of base $\frac{1}{n}$ and height $\frac{n}{2}$, so ${\int }_0^1{f}_n(x)dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}\cdot \frac{n}{2}=\frac{1}{4}$.
Since $f_n(0)=0$ and $f_n(x)=0$ for all $n>1/x$ when $x>0$, we have $f_n\to 0$ pointwise.

Thus $f=0$, yet

$${\int }_0^1{f}_{n}dx=\frac{1}{4}\ne 0={\int }_0^{1}fdx$$

In the extremum, the triangle always gets shorter and pushed more to the left (i.e. area shrinks).

In general the pointwise limit of integrable functions need not be integrable, and even when it is, the integral may not pass to the limit.
Uniform convergence repairs this.

Uniform Convergence and Riemann Integrals Commute

Let $(f_n{)}_{n=0}^{\infty }$, $f_n:[a,b]\to \mathbb{R}$ integrable, converge uniformly to $f$. Then $f$ is integrable and

$${\int }_a^{b}fdx=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^b{f}_{n}dx$$

Proof: Fix $\epsilon >0$. By uniform convergence there is $N$ with $|f_n-f|\le \epsilon$ on $[a,b]$ for all $n\ge N$.

• Since $f_N$ is integrable, choose step functions $\ell \le f_N\le u$ with ${\int }_a^b(u-\ell )dx<\epsilon$.
• Set $\hat{\ell }=\ell -\epsilon$ and $\hat{u}=u+\epsilon$; these are step functions. From $|f_N-f|<\epsilon$

$$\hat{\ell }=\ell -\epsilon \le f_N-\epsilon \le f\le f_N+\epsilon \le u+\epsilon =\hat{u},$$

• since $\hat{u}-\hat{\ell }=u-\ell +2\epsilon$

$${\int }_a^b(\hat{u}-\hat{\ell })dx={\int }_a^b(u-\ell )dx+2\epsilon (b-a)<\epsilon +2\epsilon (b-a)$$

• As $\epsilon >0$ is arbitrary, $f$ is integrable. Finally, by monotonicity and the triangle inequality for the integral:

$$\left|{\int }_a^{b}fdx-{\int }_a^b{f}_{n}dx\right|=\left|{\int }_a^b(f-f_n)dx\right|\le {\int }_a^b|f-f_n|dx\le \epsilon (b-a)\forall n\ge N,$$

As this held for arbitrary $ϵ$, this is equivalent to the statement ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_a^b{f}_{n}dx$ $={\int }_a^{b}fdx$.