9. Taylorreihen

7.1 Lokale Approximation durch Polynome

Man kann mit Hilfe der Tangente eine Funktion lokal approximieren.

1. Taylor Approximation

$$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)=P_1(x)$$

Dieser Ausdruck wird auch Linearisierung oder 1. Taylorpolynom an $x_0$ genannt.

Wir können diese Idee erweitern, in dem wir weiter Ableiten und ein Polynom höheren Grades bauen.

7.2 Approximation durch Potenzreihen

Die Idee: Wir suchen ein Polynom $P_n(x)={\sum }_{k=0}^n{a}_k(x-x_0{)}^k$, das $f$ bei $x_0$ so gut wie möglich approximiert:

• In Wert und allen Ableitungen bis Ordnung $n$: $P_n^{(k)}(x_0)=f^{(k)}(x_0)\text{fu¨r }k=0,1,\dots ,n$
• Leitet man $P_n$ genau $k$-mal ab und setzt $x=x_0$, verschwinden alle Terme ausser dem $k$-ten: $P_n^{(k)}(x_0)=k!\cdot a_k$
• Also muss gelten $a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$.

Note, für ein $f$ Polynom vom $n$-ten Grad, gibt $P_n$ die Funktion exakt wieder.

Intuition: Das Taylorpolynom ist das eindeutige Polynom vom Grad $\le n$, das $f$ in $x_0$ bis zur $n$-ten Ableitung imitiert. Jeder Koeffizient ist dafür verantwortlich, genau eine Ableitung zu treffen.

7.11 Satz von Taylor (Integral-Restterm)

Se $f$ eine glatte (oder mindestens $n$-mal differenzierbar) Funktion auf dem Interval $I$ mit $x_0\in I$ ist. Dann gilt für alle $x\in I$:

$$f(x)=P_{n-1}(x)+{\int }_{x_0}^x{f}^{(n)}(t)\frac{(x-t{)}^{n-1}}{(n-1)!}dt$$

wo $P_{n-1}$ die $(n-1)$ Taylor-Approximation von $f$ ist.

Note: Dadurch, dass $f$ mindestens $n$-fach differenzierbar ist, existiert das Integral.

Proof: The proof is inductive. We start with $n=1$:

$$f(x)=f(x_0)+{\int }_{x_0}^x{f}^{\prime }(t)dt=P_0(x)+{\int }_{x_0}^x{f}^{(1)}(t)\frac{(x-t{)}^0}{0!}dt$$

• Induction Hypothesis:

$$f(x)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^k(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+{\int }_{x_0}^x{f}^{(n)}(t)\frac{(x-t{)}^{n-1}}{(n-1)!}dt$$

• Induction Step: let $g^{\prime }(t)=\frac{(x-t{)}^{n-1}}{(n-1)!}$. Then $g(t)=-\frac{(x-t{)}^n}{n!}$ and by IBP ${\int }_{x_0}^x{f}^{(n)}(t)g^{\prime }(t)dt=\left[f^{(n)}\cdot g(t)\right]-{\int }_{x_0}^x{f}^{(n+1)}(t)g(t)dt$.

$$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^k(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+{\int }_{x_0}^x{f}^{(n)}(t)\frac{(x-t{)}^{n-1}}{(n-1)!}dt\\ & =\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^k(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+{\left[f^{(n)}-\frac{(x-t{)}^n}{n!}\right]}_{x_0}^x+{\int }_{x_0}^x{f}^{(n+1)}\frac{(x-t{)}^n}{n!}dt\\ & =\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^k(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+\left[f^{(n)}-\frac{(0{)}^n}{n!}\right]+\left[f^{(n)}\frac{(x-x_0{)}^n}{n!}\right]+{\int }_{x_0}^x{f}^{(n+1)}\frac{(x-t{)}^n}{n!}dt\end{array}$$

7.11 Satz von Taylor (Lagrange-Restterm)

Se $f$ eine glatte Funktion auf dem Interval $I$ mit $x_0\in I$ ist. Dann gilt für alle $x\in I$:

$$\begin{array}{rl}f(x)& =f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n\\ & =\sum _{k=0}^n{f}^{(k)}(x_0)\frac{1}{k!}(x-x_0{)}^k+\frac{1}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}(\xi )(x-x_0{)}^{n+1}\\ & =P_n(x)+R_n(x)\end{array}$$

es existiert ein $\xi \in [x_0,x]$ sodass die Gleichung oben hält. $P_n$ heißt $n$-tes Taylorpolynom. $R_n$ ist der Rest / Abweichung / Fehler.

Warum es dieses $\xi$ gibt?

Restglied $R_n$

Sei $R_n(x):=f(x)-P_n(x)$. Dann gibt es genau ein $\xi$ zwischen $x_0$ und $x$ gibt mit

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$$

Proof: Assume $x>x_0$ WLOG

• We consider the function

$$g(t)=f(t)+f^{(1)}(t)(x-t)+\cdots +\frac{f^{(n-1)}(t)}{(n-1)!}(x-t{)}^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t{)}^k$$

• We can see $g(x)=f(x)$ and $g(x_0)=P_{n-1}(x)$
• The derivative $g^{\prime }(t)$ is given via product rule by

$$\begin{array}{rl}{g}^{\prime }(t)& =\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t{)}^k-\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(t)}{k!}k(x-t{)}^{k-1}\\ & =\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t{)}^k-\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(t)}{(k-1)!}(x-t{)}^{k-1}\\ & =\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t{)}^k-\sum _{k=0}^{n-2}\frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t{)}^k\\ & =\frac{f^{(n)}(t)}{(n-1)!}(x-t{)}^{n-1}\end{array}$$

• We apply the Cauchy MVT on the interval $[x_0,x]$ to $g(t)$ and $h(t)=-(x-t{)}^n$ and deduce the existence of a point $\xi \in (x_0,x)$ s.t.

$$\frac{f(x)-P_{n-1}(x)}{(x-x_0{)}^n}=\frac{g(x)-g(x_0)}{h(x)-h(x_0)}=\frac{g^{\prime }(\xi )}{h^{\prime }(\xi )}=\frac{\frac{f^{(n)}(\xi )}{(n-1)!}(x-\xi {)}^{n-1}}{n(x-\xi {)}^{n-1}}=\frac{f^{(n)}(\xi )}{n!}$$

and thus $f(x)-P_{n-1}(x)=R_n(x)=f^{(n)}(\xi )\frac{(x-x_0{)}^n}{n!}$.

Fehlerabschätzung

Für ein Taylorpolynom mit Lagrange-Restterm gilt: Falls $\left|f^{(n+1)}(t)\right|\le M$ für alle $t\in [x_0,x]$, dann $|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-x_0{|}^{n+1}$

Example: Für $f(x)=\sin (x)$, $x_0=0$, gilt $|f^{(n+1)}|\le 1$ überall. Also ist der Fehler des $n$-ten Taylorpolynoms bei $x=1$ höchstens $\frac{1}{(n+1)!}$.

Es sei angemerkt, dass für eine Taylorreihe $P(x)={\sum }_{k=0}^{\infty }$, für jedes $x$ im Konvergenzintervall die Reihe konvergiert.
Das heißt jedoch noch nicht, dass $P(x)$ stetig ist, auch wenn alle $P_n(x)$ stetig sind.

7.19 Gleichmässige Konvergenz von Taylorreihen

Taylorreihen sind im Konvergenzintervall stetig. Es sei ${\sum }_{k=0}^{\infty }{c}_k(x-x_0{)}^k$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R\in (0,\infty )\cup \{\infty \}$. Dann konvergiert die Folge $(f_n(x){)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ der Polynome

$$f_n(x)=\sum _{k=0}^n{c}_k(x-x_0{)}^k$$

für jedes $x\in (x_0+r,x_0+r)$, $r<R$ gleichmäßig gegen

$$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{c}_k(x-x_0{)}^k$$

Insbesondere definiert diese Potenzreihe eine auf $(x_0-R,x_0+R)$ stetige Funktion in $f$.

The partial sums $P_n(x)={\sum }_{k=0}^{n-1}{a}_k{x}^k$ are polynomials, hence continuous.
Proof: Sei $P(x)={\sum }_{k=0}^{\infty }{a}_k{x}^k$ und $P_n(x)={\sum }_{k=0}^{n-1}{a}_k{x}^k$. Sei $x$ im Konvergenzintervall $(-S,S)$

• Sei $r$ Hilfsgröße sodass $|x|<r$ und wir betrachten $r<s<S$.

$$|P(x)-P_n(x)|=\left|\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k{x}^k-\sum _{k=0}^{n-1}{a}_k{x}^k\right|=\left|\sum _{k=n}^{\infty }{a}_k{x}^k\right|$$

• da $|x|<r$ gilt

$$\le \sum _{k=n}^{\infty }|a_k||x{|}^k\le \sum _{k=n}^{\infty }|a_k|r^k$$

• wir schreiben $r$ als $\frac{r}{s}\cdot s$

$$=\sum _{k=n}^{\infty }|a_k|{\left(\frac{r}{s}\right)}^k{s}^k\le {\left(\frac{r}{s}\right)}^n\sum _{k=n}^{\infty }|a_k|s^k\stackrel{n\to \infty }{\to }0$$

wobei ${\sum }_{k=n}^{\infty }|a_k|s^k<\infty$ da $s<S$ $(\approx p(s))$ - im Konvergenzintervall.
Gleichmäßige Konvergenz von $P_n$ nach $P$ $⟹$ da $P_n$ stetig ist auch $P$ stetig (man kann nicht gleichmäßig gegen unstetige Funktion konvergieren - Theorem 4.39).
Nach der Definition von gleichmäßiger Konvergenz ist jede Taylorreihe im Konvergenzintervall also stetig.

7.2.2 Analytische Funktionen

Sei $f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-1/x^2}& \text{ for }x\ne 0\\ 0& \text{ for }x=0\end{array}$. It is smooth and has a convergence radius of $\infty$.

But for $x_0=0$, for all $n$, $f^n(x_0)=0$. Therefore, the Taylor series of this function converges perfectly towards $0$ at all points (because it has convergence radius $\infty$).

• intuition it’s exactly $0$ at $0$, so the derivatives can get no information at all.

But this is wrong → $f(x)\ne 0$ for all $x\ne 0$! Therefore the taylor series converges, but the function is not analytic!

Analytic Function

Let $I\subseteq \mathbb{R}$ be an interval and $x_0\in I$. A smooth function $f:I\to \mathbb{R}$ is called analytic at $x_0$ if the Taylor series of $f$ around $x_0$ has a radius of convergence $R>0$ and there exists $\delta \in (0,R)$ s.t.

$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n\forall x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )\cap I$$

We say $f$ is analytic in $I$ if $f$ is analytic at all points in $I$.

The example function from before does not satisfy analytic in $I$, but only at every point $\ne 0$ (since there the derivatives pick up information again).

Referenz-Taylorentwicklungen

DEFINITION

Die folgenden Taylorreihen konvergieren für alle $x$:

1. $\sin (x)$
2. $\cos (x)$
3. $e^x$

Wir wissen, dass gilt:

$$\sin (x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}=x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5$$ $$\cos (x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{(2n)!}{x}^{2n}=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4}{x}^4$$ $$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{x}^n=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+\dots$$

DEFINITION

Die folgenden Taylorreihen konvergieren nur für $-1<x<1$:

1. $\ln (1+x)$
2. $\frac{1}{1-x}$
3. $(1+x{)}^p$

$$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}{x}^n=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4+\dots$$ $$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$$ $$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n=1+x+x^2+x^3+x^4+\dots$$ $$(1+x{)}^p=\sum _{n=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{n})x^n=1+px+\frac{p(p-1)}{2!}{x}^2+\dots$$

7.3 Rechnen mit Taylorreihen

Dadurch das Taylorreihen eigentlich nur (konvergente) Summen sind, haben sie einige praktische Eigenschaften, die das Rechnen mit ihnen erleichtern.

Multiplikation von Reihen

Wir betrachten zwei Potenzreihen

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n,g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n$$

wobei $x$ im Konvergenzintervall beider Reihen ist.
Dann gilt

$$f(x)\cdot g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}\right)x^n$$

Note, die Doppelsumme ist “Summe über alle Möglichkeiten Potenz $u$ von $x$ zu erhalten”.

Termweises Ableiten

Wir beginnen mit der Darstellung einer Funktion durch eine Potenzreihe,

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$$

dabei ist wiederum $x$ im Konvergenzintervall $I$. Dann ist $f$ differenzierbar, und es gilt

$$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}$$

Termweises Integrieren

Wir beginnen mit der Darstellung einer Funktion durch eine Potenzreihe,

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n,$$

dabei ist wiederum $x$ im Konvergenzintervall $I$. Dann ist $f$ auf dem Intervall $[a,b]\subset I$ integrierbar, und es gilt

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\int }_a^b{a}_n{x}^{n}dx$$

Tricks

Substitution

See Michaels Chap 14.3 p. 293

From a known Taylorseries, like that of $\frac{1}{1-x}={\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n$ (for $|x|<1$), we can derive the Taylorseries of an unknown function.
Take $\frac{1}{1+x^2}$. In the above function, we substitute $x=-x^2$. Then we get

$$\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{1-(-x^2)}=\sum _{n=0}^{\infty }(-x^2{)}^n=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^{2n}=1-x^2+x^4-x^6+\dots$$

Note, be careful with convergence radii: for $|x|<1$ we get $|-x^2|<1⟹x^2<1⟹|x|<1$.

Integration

See Michaels Chap14.3 p.296

Since we can termwise derive and integrate, we can easily get the integrals of complicated functions using their taylor expansion.
We know $\int \frac{1}{1-x}=-\log (1-x)$. Thus $\int {\sum }_{n=0}^n{x}^{n}dx=\int (1+x+x^2+\dots )dx=x+\frac{x^2}{2}+\cdots +C={\sum }_{n=1}^{\infty }=\frac{x^n}{n}+C$
Therefore $\log (1-x)=-{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\dots$